[论文解读] Schur-Weyl duality for Deligne categories

Inna Entova-Aizenbud|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文通过在 Deligne 的范畴 $\underline{Rep}(S_t)$ 中构造一个 $\mathrm{Ind}$-对象（即单位向量空间 $(V, \mathbbm{1})$ 的复张量幂），并赋予其 $\mathfrak{gl}(V)$-作用，建立了 Deligne 范畴中类似 Schur-Weyl 对偶性的结果。证明了其阿贝尔包 $\underline{Rep}^{ab}(S_t)$ 与抛物型范畴 $\mathcal{O}^\mathfrak{p}_V$ 的 Serre 商 $\widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}}_{t,V}$ 之间存在反向等价，该等价通过反变 Schur-Weyl 范畴 $\widehat{SW}_t$ 实现。此结果将经典 Schur-Weyl 对偶性推广至复秩情形。

ABSTRACT

This paper gives an analogue to the classical Schur-Weyl duality in the setting of Deligne categories. Given a finite-dimensional unital vector space V (i.e. a vector space V with a distinguished non-zero vector 1), we give a definition of a complex tensor power of V. This is an Ind-object of the Deligne category Rep(S_t), equipped with a natural action of gl(V). This construction allows us to describe a duality between the abelian envelope of the category Rep(S_t) and a localization of the parabolic category O for gl(V) associated with the pair (V, 1). In particular, we obtain an exact contravariant functor SW from the category Rep^{ab}(S_t) (the abelian envelope of the category Rep(S_t)) to a certain quotient \hat{O} of the parabolic category O. This quotient is obtained by taking the full subcategory consisting of modules of degree t, and localizing by the subcategory of finite dimensional modules. It turns out that the contravariant functor SW makes \hat{O} a Serre quotient of the category Rep^{ab}(S_t)^{op}, and the kernel of SW can be explicitly described.

研究动机与目标

• 将经典 Schur-Weyl 对偶性推广至复秩 $t \in \mathbb{C}$ 的 Deligne 范畴设定中，其中 $t$ 不必为正整数。
• 在 $\underline{Rep}(S_t)$ 中定义单位向量空间 $(V, \mathbbm{1})$ 的复张量幂构造，作为具有自然 $\mathfrak{gl}(V)$-作用的 $\mathrm{Ind}$-对象。
• 建立一个反变正合函子 $\widehat{SW}_t: \underline{Rep}^{ab}(S_t) \to \widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}}_{t,V}$，其中 $\widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}}_{t,V}$ 是抛物型范畴 $\mathcal{O}^\mathfrak{p}_V$ 的商范畴。
• 证明 $\widehat{SW}_t$ 在 $\underline{Rep}^{ab}(S_t)$ 与 $\widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}}_{t,V}$ 之间诱导出阿贝尔范畴的反等价，且明确描述了 $\widehat{SW}_t$ 的核。
• 通过 $\mathbb{C}^N$ 上的逆极限构造，将对偶性推广至无限维情形，得到与 $\widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}_N}_{t,\mathbb{C}^N}$ 族的过滤逆极限的反等价。

提出的方法

• 将单位向量空间 $(V, \mathbbm{1})$ 的复张量幂定义为 $\underline{Rep}(S_t)$ 中的 $\mathrm{Ind}$-对象，且其定义不依赖于分解 $V \cong \mathbb{C}\mathbbm{1} \oplus U$ 的选择。
• 为该 $\mathrm{Ind}$-对象赋予自然的 $\mathfrak{gl}(V)$-作用，推广了在 $t = n \in \mathbb{Z}_{>0}$ 时 $V^{\otimes n}$ 上的标准作用。
• 构造 Schur-Weyl 范畴 $\widehat{SW}_t: \underline{Rep}^{ab}(S_t) \to \mathcal{O}^\mathfrak{p}_V$ 为反变正合函子。
• 将商范畴 $\widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}}_{t,V}$ 定义为 $\mathcal{O}^\mathfrak{p}_V$ 的全子范畴，其对象为次数为 $t$ 的模，模掉其有限维模的 Serre 子范畴。
• 利用限制函子 $\widehat{Res}_{t,N}: \widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}_N}_{t,\mathbb{C}^N} \to \widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}_{N-1}}_{t,\mathbb{C}^{N-1}}$ 构造逆系统，并定义 $\widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}_N}_{t,\mathbb{C}^N}$ 范畴的过滤逆极限。
• 证明 Schur-Weyl 范畴 $SW_{t,\mathbb{C}^N}$ 诱导出 $\underline{Rep}^{ab}(S_t)$ 与 $\widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}_N}_{t,\mathbb{C}^N}$ 族的过滤逆极限之间的反变反等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 Deligne 范畴将 Schur-Weyl 对偶性从整数秩推广至复秩？
• RQ2 在 $\underline{Rep}(S_t)$ 中，$t \in \mathbb{C}$ 时 $V^{\otimes n}$ 的正确类比是什么？它如何携带 $\mathfrak{gl}(V)$-作用？
• RQ3 在复秩下，$\mathfrak{gl}(V)$ 的阿贝尔包 $\underline{Rep}^{ab}(S_t)$ 与抛物型范畴 $\mathcal{O}^\mathfrak{p}_V$ 之间的确切关系为何？
• RQ4 $\widehat{SW}_t$ 的核在 $\underline{Rep}^{ab}(S_t)$ 的结构中如何刻画？
• RQ5 对偶性是否可通过限制函子推广至无限维极限？其结果范畴为何？

主要发现

• 单位向量空间 $(V, \mathbbm{1})$ 的复张量幂被定义为 $\underline{Rep}(S_t)$ 中的 $\mathrm{Ind}$-对象，并赋予自然的 $\mathfrak{gl}(V)$-作用，其推广了在 $t = n \in \mathbb{Z}_{>0}$ 时的标准 $V^{\otimes n}$。
• Schur-Weyl 范畴 $\widehat{SW}_t: \underline{Rep}^{ab}(S_t) \to \widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}}_{t,V}$ 是一个反变正合函子，其中 $\widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}}_{t,V}$ 是 $\mathcal{O}^\mathfrak{p}_V$ 模掉其有限维模子范畴后的 Serre 商。
• $\widehat{SW}_t$ 在 $\underline{Rep}^{ab}(S_t)$ 与 $\widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}}_{t,V}$ 之间诱导出阿贝尔范畴的反等价，且其核被明确描述为映射到有限维模的全子范畴。
• 对偶性被推广至逆极限系统：$\underline{Rep}^{ab}(S_t)$ 与 $\widehat{\mathcal{O}}^{\mathfrak{p}_N}_{t,\mathbb{C}^N}$ 族的过滤逆极限之间存在反等价，其滤子由对象长度的稳定化定义。
• $\widehat{SW}_t$ 与对偶性相容：存在自然同构 $\widehat{SW}_\nu((\cdot)^*) \cong \hat{\pi}(SW_\nu(\cdot)^\vee)$，表明其与两侧的对偶函子相容。