[论文解读] The 2-group of linear auto-equivalences of an abelian category and its Lie 2-algebra

Xinwen Zhu|ArXiv.org|Oct 29, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文为满足 (AB5) 的 k-线性阿贝尔范畴 C 构造了线性自同构的层 2-群 GL(C)，并证明其切空间 gl(C) 携带自然的李 2-代数结构。该构造将经典线性代数群与李代数推广至范畴设定，在关键结果中，当 C 是基概形 S 上的分离、准紧概形 X 的拟相干层范畴时，gl(C) 构成李 2-代数。

ABSTRACT

For any abelian category \calC satsifying (AB5) over a separated, quasi-compact scheme S, we construct a stack of 2-groups \GL(\calC) over the flat site of S. We will give a concrete description of \GL(\calC) when \calC is the category of quasi-coherent sheaves on a separated, quasi-compact scheme X over S. We will show that the tangent space \gl(\calC) of \GL(\calC) at the origin has a structure as a Lie 2-algebra.

研究动机与目标

• 将经典向量空间上的 GL(V) 与 gl(V) 概念从向量空间推广至满足 (AB5) 的阿贝尔范畴。
• 在概形 S 的平坦拓扑上定义一个关于 k-线性阿贝尔范畴 C 的 2-群 GL(C) 的层。
• 在 GL(C) 的单位元处，为其切空间 gl(C) 赋予自然的李 2-代数结构。
• 在基环中 1/2 可逆的假设下，建立 2-项 L∞-代数与李 2-代数之间的对应关系。

提出的方法

• 将 GL(C) 定义为 C 的 k-线性自同构的范畴，并赋予其张量结构使其成为一个 2-群。
• 通过将阿贝尔范畴沿 k-代数的基变换，将 GL(C) 构造为 S 上仿射概形的 fppf 站上的堆。
• 通过验证代数同态下的拉回兼容性，证明 GL(C) 满足 fppf 拓扑下的层条件。
• 将切空间 gl(C) 识别为 GL(C)(k[ε]/ε²) → GL(C)(k) 的核，并通过类似 Chevalley-Eilenberg 的构造为其赋予李 2-代数结构。
• 利用陈示性类将 2-项 L∞-代数与严格交换的 Picard 堆联系起来，并在 1/2 可逆时建立其与李 2-代数的等价性。
• 通过修改括号与三线性映射，显式构造 gl(C) 上李 2-代数结构，使其满足反对称性与雅可比器条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为满足 (AB5) 的阿贝尔范畴的自同构群赋予一个在基概形上以层论方式变化的 2-群结构？
• RQ2 当 V 被替换为阿贝尔范畴 C 时，gl(V) 的正确推广是什么？其作为李 2-代数的结构如何？
• RQ3 能否为 2-群 GL(C) 的切空间赋予李 2-代数结构？若能，其构造方式为何？
• RQ4 2-项 L∞-代数与李 2-代数之间存在何种关系？在何种条件下该对应关系构成等价？

主要发现

• 对于任意满足 (AB5) 的 k-线性阿贝尔范畴 C，GL(C) 是 S 上仿射概形的 fppf 站上的 2-群层。
• 当 C = Qcoh(X)，其中 X 是 S 上的分离、准紧概形时，GL(C) 同构于 X 的 Picard 堆与 X 的 k-线性自同构层的半直积。
• GL(C) 在单位元处的切空间 gl(C) 自然地携带李 2-代数结构。
• 当基环中 1/2 可逆时，具有单射 L⁻¹ 的 2-项 L∞-代数与李 2-代数之间存在 2-范畴等价。
• gl(C) 上李 2-代数结构的构造涉及对括号与三线性映射的修正，使其在修正非对称分量后满足反对称性与雅可比器条件。
• 陈示性类构造提供了 2-项 L∞-代数与李 2-代数之间对应关系的拟逆，从而在 2 可逆时确立了等价性。