[论文解读] Self-consistent tomography of the state-measurement Gram matrix

Cyril Stark|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Sep 25, 2012

Matrix Theory and Algorithms参考文献 1被引用 11

一句话总结

本文提出了一种自洽方法，通过半定规划在全局可完成测量（如非简并投影测量）的假设下重建态-测量格拉姆矩阵。该方法在赫米特矩阵空间中唯一确定了量子态与测量算符的联合酉旋转形式，且在大样本极限下证明了其严格的可靠性。

ABSTRACT

State and measurement tomography make assumptions about the experimental states or measurements. These assumptions are often not justified because state preparation and measurement errors are unavoidable in practice. Here we describe how the Gram matrix associated with the states and measurement operators can be estimated via semidefinite programming if the states and the measurements are so called globally completable. This is for instance the case if the unknown measurements are known to be projective and non-degenerate. The computed Gram matrix determines the states, and the measurement operators uniquely up to simultaneous rotations in the space of Hermitian matrices. We prove the reliability of the proposed method in the limit of a large number of independent measurement repetitions.

研究动机与目标

• 通过消除对态或测量的理想化假设，解决量子层析中制备与测量误差的挑战。
• 提出一种方法，仅从实验频率数据重建量子态与测量算符的格拉姆矩阵，而无需事先知晓态或测量。
• 通过利用半定规划与格拉姆矩阵的结构，使重建对系统误差具有鲁棒性。
• 在样本量趋于无穷的极限下，证明该方法的可靠性，此时玻恩规则精确成立。
• 建立格拉姆矩阵在酉等价意义下唯一确定底层态与测量的条件。

提出的方法

• 将实验数据表述为测量结果的频率表 $\mathcal{D}$，其条目在大N极限下为 $f_{k|wv} = \mathrm{tr}(\rho_w E_{vk})$。
• 将态 $\rho_w$ 与测量算符 $E_{vk}$ 表示为 $\mathbb{R}^{d^2}$ 中的实向量 $\vec{\rho}_w, \vec{E}_{vk}$，从而实现线性内积表示。
• 构造态-测量格拉姆矩阵 $G = P^T P$，其中 $P = (P_{\text{st}} \mid P_{\text{m}})$，且 $P_{\text{st}}$ 与 $P_{\text{m}}$ 分别包含态与测量向量。
• 通过求解 $\text{find } G \in \mathcal{G}_{\text{QM}} \text{ subject to } G_\Omega = \vec{\mathcal{K}}, \text{ rank}(G) = \text{rank}(\mathcal{D})$ 来恢复 $G$，其中 $\mathcal{G}_{\text{QM}}$ 为可实现的量子格拉姆矩阵集合。
• 利用谱范数单位球上矩阵秩函数的凸包，证明 $\mathrm{rank}^{**}(Z) = \mathrm{tr}(Z)$，从而实现高效的优化。
• 通过采样哈尓随机纯态与旋转后的投影测量，对方法进行数值验证，使用奇异值阈值 $\tau = 10^{-4}$ 评估秩的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设理想态或测量的前提下，仅从实验频率重建态-测量格拉姆矩阵？
• RQ2 在何种条件下，格拉姆矩阵在酉等价意义下被唯一确定？
• RQ3 如何在量子层析中缓解态制备与测量中的系统误差？
• RQ4 全局可完成测量（如非简并投影测量）在实现自洽重建中起到什么作用？
• RQ5 通过迹范数对秩约束进行凸松弛，如何确保在大样本极限下重建的可靠性？

主要发现

• 在态与测量全局可完成的前提下，格拉姆矩阵 $G$ 在赫米特矩阵空间中唯一确定至联合酉旋转。
• 在 $N \to \infty$ 的极限下，该方法实现可靠的重建，此时实验频率收敛至玻恩规则的概率。
• 秩条件 $\mathrm{rank}(G) = \mathrm{rank}(\mathcal{D})$ 确保了完整格拉姆矩阵与观测数据矩阵之间的一致性。
• 在谱范数单位球上，矩阵秩函数的凸包为迹函数，从而可通过迹最小化实现高效的半定规划。
• 数值实验表明，当对小奇异值使用阈值 $\tau = 10^{-4}$ 时，重构的格拉姆矩阵与 $\mathcal{D}$ 的秩一致。
• 该方法与考虑统计波动但忽略系统误差的信心区域方法正交，其重点在于对模型缺陷的鲁棒性。