[论文解读] Semigroup and Category-Theoretic Approaches to Partial Symmetry

Alistair R. Wallis|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用 21

一句话总结

本文建立了一套基于范畴论的偏对称性框架，采用反半群与范畴HNN扩张，证明了自相似群作用产生的左Rees半群同构于半群HNN扩张。通过幂等矩阵与模理论构建了正交完备反半群的K-理论函子，并证明了Cuntz-Krieger半群的K-群与相应C*-代数的K₀-群之间存在同构关系。

ABSTRACT

This thesis is about trying to understand various aspects of partial symmetry using ideas from semigroup and category theory. In Chapter 2 it is shown that the left Rees monoids underlying self-similar group actions are precisely monoid HNN-extensions. In particular it is shown that every group HNN-extension arises from a self-similar group action. Examples of these monoids are constructed from fractals. These ideas are generalised in Chapter 3 to a correspondence between left Rees categories, self-similar groupoid actions and category HNN-extensions of groupoids, leading to a deeper relationship with Bass-Serre theory. In Chapter 4 of this thesis a functor $K$ between the category of orthogonally complete inverse semigroups and the category of abelian groups is constructed in two ways, one in terms of idempotent matrices and the other in terms of modules over inverse semigroups, and these are shown to be equivalent. It is found that the $K$-group of a Cuntz-Krieger semigroup of a directed graph $G$ is isomorphic to the operator $K^{0}$-group of the Cuntz-Krieger algebra of $G$ and the $K$-group of a Boolean algebra is isomorphic to the topological $K^{0}$-group of the corresponding Boolean space under Stone duality.

研究动机与目标

• 开发一个统一的框架，利用半群与范畴理论理解偏对称性。
• 建立自相似广群作用与范畴HNN扩张之间的对应关系，推广半群HNN扩张。
• 通过矩阵与模理论两种方法，为正交完备反半群构造K-理论函子。
• 证明Cuntz-Krieger半群的K-群与相应C*-代数的K₀-群之间存在同构关系。
• 通过迹函数探索反半群K-理论与准晶体物理中能隙标定之间的联系。

提出的方法

• 使用Zappa-Szép积，从自由半群上的自相似群作用构造左Rees半群。
• 定义半群HNN扩张，并证明其与左Rees半群同构，以分形如Sierpinski垫为例。
• 推广至广群的范畴HNN扩张，并通过左Rees范畴将其与Bass-Serre理论关联。
• 通过幂等矩阵与反半群上的模理论构造K-函子K，并证明两种构造方式等价。
• 将K-函子应用于有向图的Cuntz-Krieger半群与布尔代数，证明其与拓扑及算子K₀-群同构。
• 在Scala中实现自相似作用，计算相关左Rees半群中的乘积，如Sierpinski垫的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过半群理论构造来代数刻画自相似群作用？
• RQ2 在树上群作用的背景下，左Rees半群与HNN扩张之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否通过模与幂等矩阵两种方式等价地定义反半群的K-理论？
• RQ4 Cuntz-Krieger半群的K-群在多大程度上同构于其关联C*-代数的K₀-群？
• RQ5 反半群上的迹函数能否提供准晶体模型中能隙标定的半群理论表述？

主要发现

• 由自相似群作用产生的左Rees半群恰好是半群HNN扩张，且每个群HNN扩张均可如此构造。
• 有向图G的Cuntz-Krieger半群的K-群同构于G的Cuntz-Krieger C*-代数的K₀-群。
• 布尔代数的K-群同构于其对应Stone对偶空间的拓扑K₀-群。
• 通过幂等矩阵与反半群模理论构造的K-函子两种方式是等价的。
• 正交完备反半群上的模范畴是共完备且具体的，支持表示论分析。
• Scala实现成功计算了Sierpinski垫相似性半群中的乘积，对输入(L, rsr)和(RTL, s)得到结果(LLTR, rsrs)。