[论文解读] Shadowing and structural stability in linear dynamical systems

Nilson C. Bernardes, Ali Messaoudi|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文证明了线性动力系统中的结构稳定性并不蕴含双曲性，给出了在巴拿赫空间上结构稳定但非双曲的可逆算子的反例。证明了可逆算子是双曲的当且仅当它是扩张的且具有跟踪性质，并刻画了在 $c_0(\mathbb{Z})$ 和 $\ell_p(\mathbb{Z})$ 上满足跟踪性质的加权移位算子。

ABSTRACT

A well-known result in the area of dynamical systems asserts that any invertible hyperbolic operator on any Banach space is structurally stable. This result was originally obtained by P. Hartman in 1960 for operators on finite-dimensional spaces. The general case was independently obtained by J. Palis and C. Pugh around 1968. We will exhibit examples of structurally stable operators that are not hyperbolic, thereby showing that the converse of the above-mentioned result is false in general. We will also prove that an invertible operator on a Banach space is hyperbolic if and only if it is expansive and has the shadowing property. Moreover, we will show that if a structurally stable operator is expansive, then it must be uniformly expansive. Finally, we will characterize the weighted shifts on the spaces $c_0(\mathbb{Z})$ and $\ell_p(\mathbb{Z})$ ($1 \leq p < \infty$) that satisfy the shadowing property.

研究动机与目标

• 研究线性动力系统中结构稳定性、双曲性与跟踪性质之间的关系。
• 确定结构稳定性是否蕴含双曲性，这是无限维动力系统中长期悬而未决的问题。
• 刻画在 $c_0(\mathbb{Z})$ 和 $\ell_p(\mathbb{Z})$ 上满足跟踪性质的加权移位算子。
• 澄清巴拿赫空间算子中结构稳定性与相对于 $GL(X)$ 的结构稳定性的区别。

提出的方法

• 通过在特定巴拿赫空间上构造结构稳定但非双曲的可逆算子的显式例子，以反驳哈特曼定理的逆命题。
• 利用谱理论与伪轨道分析，证明在巴拿赫空间上，可逆算子是双曲的当且仅当它是扩张的且具有跟踪性质。
• 通过权重乘积范数的估计，分析 $c_0(\mathbb{Z})$ 和 $\ell_p(\mathbb{Z})$ 上加权双边移位算子的跟踪性质。
• 利用双曲分解 $X = X_s^T \oplus X_u^T$ 与同胚映射的共轭关系，建立结构稳定性。
• 通过利普希茨扰动与共轭条件 $h \circ T = S \circ h$，证明双曲算子相对于 $GL(X)$ 的结构稳定性。
• 应用频繁超循环准则，表明某些结构稳定的算子表现出强烈的混沌行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在巴拿赫空间上的线性算子中，结构稳定性是否蕴含双曲性？
• RQ2 可逆算子能否在不具双曲性或相对于 $GL(X)$ 不具结构稳定性的前提下仍为结构稳定？
• RQ3 在线性算子中，扩张性、跟踪性与双曲性之间的确切关系为何？
• RQ4 哪些在 $c_0(\mathbb{Z})$ 和 $\ell_p(\mathbb{Z})$ 上的加权移位算子满足跟踪性质？
• RQ5 结构稳定的算子是否必然满足频繁超循环准则？

主要发现

• 存在在巴拿赫空间上结构稳定但非双曲的可逆算子，从而否定了哈特曼定理的逆命题。
• 在巴拿赫空间上，可逆算子是双曲的当且仅当它是扩张的且具有跟踪性质。
• 结构稳定的扩张算子必为一致扩张，从而确立了强正则性条件。
• 对于 $c_0(\mathbb{Z})$ 和 $\ell_p(\mathbb{Z})$ 上的加权移位算子 $F_w$，其跟踪性质成立当且仅当 $\lim_{n\to\infty}\sup_{k\in\mathbb{N}}|w_k w_{k+1} \cdots w_{k+n}|^{1/n} < 1$。
• 本文构造的结构稳定算子类满足频繁超循环准则，意味着其具有稠密分布混沌与德瓦恩混沌。
• 每个在巴拿赫空间上的可逆双曲算子都是相对于 $GL(X)$ 结构稳定的，该结论通过双曲分解与同胚映射的延拓，利用扰动算子的共轭关系得以证明。