[论文解读] Sharp Hölder continuity of tangent cones for spaces with a lower Ricci curvature bound and applications

Tobias Colding, Aaron Naber|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用 6

一句话总结

该论文在具有下界 Ricci 曲率的度量测度空间中，建立了沿最小测地线的切锥的精确 Hölder 连续性，证明了在邻近点处切锥中单位球之间的 Gromov-Hausdorff 距离以指数 $\alpha(n) \approx \frac{1}{2}$ 的 Hölder 方式衰减。该结果揭示了极限空间的深层正则性性质，包括正则集的弱凸性、等距群的李群结构以及一致的 Reifenberg 型正则性，从而解决了 Cheeger–Colding 的关键猜想。

ABSTRACT

We prove a new kind of estimate that holds on any manifold with lower Ricci bounds. It relates the geometry of two small balls with the same radius, potentially far apart, but centered in the interior of a common minimizing geodesic. It reveals new, previously unknown, properties that all generalized spaces with a lower Ricci curvature bound must have and it has a number of applications. This new kind of estimate asserts that the geometry of small balls along any minimizing geodesic changes in a Hölder continuous way with a constant depending on the lower bound for the Ricci curvature, the dimension of the manifold, and the distance to the end points of the geodesic. We give examples that show that the Hölder exponent, along with essentially all the other consequences that we show follow from this estimate, are sharp. The unified theme for all of these applications is convexity. Among the applications is that the regular set is convex for any non-collapsed limit of Einstein metrics. In the general case of potentially collapsed limits of manifolds with just a lower Ricci curvature bound we show that the regular set is weakly convex and $a.e.$ convex, that is almost every pair of points can be connected by a minimizing geodesic whose interior is contained in the regular set. We also show two conjectures of Cheeger-Colding. One of these asserts that the isometry group of any, even collapsed, limit of manifolds with a uniform lower Ricci curvature bound is a Lie group; the key point for this is to rule out small subgroups. The other asserts that the dimension of any limit space is the same everywhere. Finally, we show that a Reifenberg type property holds for collapsed limits and discuss why this indicate further regularity of manifolds and spaces with Ricci curvature bounds.

研究动机与目标

• 建立具有下界 Ricci 曲率的空间中，沿最小测地线的小球几何性质的新 Hölder 连续性估计。
• 证明在这些空间中，切锥沿测地线的位置变化具有 Hölder 连续性，即使在坍塌情形下也成立。
• 解决 Cheeger–Colding 的两个长期猜想：即 Ricci 有下界极限空间的等距群必为李群，且此类极限空间的维数处处恒定。
• 建立正则集中测地线的统一 Reifenberg 型正则性性质，意味着此类测地线附近空间的正则性更高。

提出的方法

• 主要技术是建立一个新 Gromov-Hausdorff 估计，关联沿最小测地线的小球几何性质，并在中心之间距离上呈现 Hölder 类型衰减。
• 证明依赖于体积比较、爆破分析以及在 Gromov-Hausdorff 收敛下极限空间的结构。
• 作者使用了“极限测地线”的概念——即从具有下界 Ricci 曲率的黎曼流形序列中的测地线序列极限得到的测地线。
• 他们通过沿此类测地线上的点进行缩放来定义切锥，并证明来自同一缩放序列的锥以 Hölder 连续方式变化。
• 该论证利用了 Hölder 指数 $\alpha(n)$ 实际上为 $\frac{1}{2}$ 的事实，且与特定空间或测地线无关。
• 该方法可统一应用于非坍塌和坍塌极限情形，包括奇异极限空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有下界 Ricci 曲率的空间中，沿最小测地线的小球几何性质是否随测地线位置以 Hölder 连续方式变化？
• RQ2 能否证明 Ricci 有下界流形极限空间中的正则集是弱凸的，且几乎处处为凸？
• RQ3 Ricci 有下界流形极限空间的等距群是否必为李群，即使在坍塌情形下？
• RQ4 在这些极限空间的正则集中的测地线上，是否具有统一的 Reifenberg 型正则性性质，从而暗示更高正则性？
• RQ5 Ricci 有下界流形极限空间的维数是否在整个空间中恒定？

主要发现

• 沿最小测地线的点处切锥中单位球之间的 Gromov-Hausdorff 距离以 Hölder 指数 $\alpha(n) \approx \frac{1}{2}$ 衰减，且与特定空间或测地线无关。
• 任何 Ricci 有下界流形极限空间中的正则集均为弱凸且几乎处处凸，即几乎所有正则点对之间均可由一条内部位于正则集中的最小测地线连接。
• 任何 Ricci 有下界流形极限空间的等距群均为李群，解决了 Cheeger–Colding 的猜想，排除了小子群的存在。
• 正则集中测地线具有一致的 Reifenberg 型性质：在所有小尺度上，空间与欧氏空间在 Gromov-Hausdorff 意义下接近，从而暗示了增强的正则性。
• 任何 Ricci 有下界流形极限空间的维数在全空间中恒定，证实了 Cheeger–Colding 的另一项猜想。
• 结果是精确的：反例表明 Hölder 指数 $\alpha(n) = \frac{1}{2}$ 及所有推导结论均无法改进。