[论文解读] Shifted Symplectic and Poisson Structures on Spaces of Framed Maps

Theodore Spaide|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文在光滑紧致概形 $X$ 到导出阿廷堆栈 $Y$ 的带框架映射空间上建立了移位辛和移位泊松结构，框架沿除子 $D$。在涉及反 canonical 除子 $ ilde{D} = 2D + E$ 的条件下，当 $Y$ 具有 $n$-移位辛或泊松结构时，且映射空间在 $D$ 和 $D+E$ 上满足某些 étale 条件，则映射空间 $ obreak{ m Map}(X,D,Y)$ 赋予 $(n-d)$-移位辛或泊松结构。其主要贡献在于构建了一个导出几何框架，统一了模问题中经典辛和泊松结构。

ABSTRACT

We examine shifted symplectic and Poisson structures on spaces of framed maps. We prove some results about shifted Poisson structures analogous to those in existing ones about symplectic structures. Then, we consider the space Map(X,D,Y) of maps from X to Y framed along a divisor D. We give conditions under which this space has a shifted symplectic or Poisson structure. Classical examples of symplectic and Poisson structures are provided with this theorem.

研究动机与目标

• 将 PTVV 关于映射堆栈上移位辛结构的古典定理推广至具有费诺型源的带框架映射。
• 通过到移位辛堆栈的拉格朗日态射，定义并发展导出阿廷堆栈上移位泊松结构的理论。
• 提供 $\operatorname{Map}(X,D,Y)$ 空间携带移位辛或泊松结构的充分条件。
• 将拉格朗日和余辛结构推广至带框架映射设定，保持在拉回下几何结构的保型性。
• 将经典例子（如单极子和瞬子模空间）作为一般框架的特例恢复。

提出的方法

• 将导出阿廷堆栈 $X$ 上的 $n$-移位泊松结构定义为到 $(n+1)$-移位辛堆栈 $Y$ 的态射 $X \to Y$，且该态射为拉格朗日态射。
• 使用同伦纤维构造 $\operatorname{Map}(X,D,Y,f) = \operatorname{HoFib}_f(\operatorname{Map}(X,Y) \to \operatorname{Map}(D,Y))$ 来定义带框架映射的空间。
• 应用导出版本的卡拉比-丘定理，证明当 $X$ 为卡拉比-丘且 $Y$ 为 $n$-移位辛时，$\operatorname{Map}(X,Y)$ 赋予 $(n-d)$-移位辛结构。
• 引入条件 $ ilde{D} = 2D + E$ 为反 canonical 以确保对偶化层的存在，从而支持移位辛形式的构造。
• 验证 $\operatorname{Map}(D+E,Y) \to \operatorname{Map}(D,Y)$ 上的 étale 条件，以确保在 $\operatorname{Map}(X,D,Y)$ 上诱导出辛结构。
• 利用导出代数几何中的余辛和拉格朗日结构，将结果推广至泊松结构及其态射。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，带框架映射空间 $\operatorname{Map}(X,D,Y)$ 会从 $Y$ 的移位辛结构继承移位辛结构？
• RQ2 在导出代数几何中，如何定义和表征移位泊松结构？它们与拉格朗日态射有何关系？
• RQ3 反 canonical 条件 $ ilde{D} = 2D + E$ 在带框架映射空间上移位辛和泊松结构的构造中起何作用？
• RQ4 在何种情况下，$\operatorname{Map}(X,D,Y)$ 空间携带辛结构而非泊松结构？这一区别的决定因素是什么？
• RQ5 结果如何将经典模空间（如瞬子和单极子模空间）作为一般框架的特例恢复？

主要发现

• 当 $Y$ 为 $n$-移位辛且映射 $\operatorname{Map}(D+E,Y) \to \operatorname{Map}(D,Y)$ 沿基态射 $f$ 为 étale 时，空间 $\operatorname{Map}(X,D,Y)$ 赋予 $(n-d)$-移位辛结构。
• 若 $Y$ 为 $n$-移位泊松，则 $\operatorname{Map}(X,D,Y)$ 即使在 étale 条件不成立时，仍继承 $(n-d)$-移位泊松结构。
• 在相同的 étale 假设下，$W \to Y$ 上的拉格朗日结构可提升至 $\operatorname{Map}(X,D,W) \to \operatorname{Map}(X,D,Y)$ 上的拉格朗日结构。
• 当 $Y$ 为 $n$-移位泊松时，$W \to Y$ 上的余辛结构可提升至 $\operatorname{Map}(X,D,W) \to \operatorname{Map}(X,D,Y)$ 上的余辛结构。
• 当 $Y = BG$ 时，空间 $\operatorname{Map}(\mathbb{P}^1, p, G/P)$ 赋予 $0$-移位泊松结构，且当 $P$ 为 Borel 子群时，其实际为辛结构。
• 当 $X = \mathbb{P}(\mathcal{O}_W \oplus T^\vee W)$ 且 $Y = BGL_n$ 时，空间 $\operatorname{Map}(X,D,BGL_n,F)$ 具有 $(1-d)$-移位泊松结构，且当 $H^*(\mathcal{H}om(F,F) \otimes \mathcal{O}_D(-i)) = 0$ 对所有 $1 \leq i \leq d-1$ 成立时，其变为辛结构。