[论文解读] Siegel modular forms (mod p) and algebraic modular forms

Alexandru Ghitza|ArXiv.org|Jun 13, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文将 Serre 关于模 p 的模形式与四元数代数上的自守形式之间的对应关系推广至高亏格的 Siegel 模形式。研究证明，亏格 g 的模 p Siegel 模形式的 Hecke 特征值系统，可通过限制到阿贝尔簇模空间的超特殊点，从四元数代数 B（在 p 和 ∞ 处分歧）上的单位酉相似群 GU_g(B) 的代数自守形式中得到。

ABSTRACT

In a letter to Tate, Serre proves that the systems of Hecke eigenvalues given by modular forms (mod p) are the same as the ones given by locally constant functions on an adelic double coset space constructed from the endomorphism algebra of a supersingular elliptic curve. We generalize this result to Siegel modular forms (mod p), proving that the systems of Hecke eigenvalues obtained from them are the same as the ones given by algebraic modular forms (mod p) on a quaternionic unitary group, as defined by Gross. The correspondence is obtained by restricting to the superspecial locus of the moduli space of abelian varieties.

研究动机与目标

• 将 Serre 关于椭圆模形式（模 p）的结果推广至高亏格的 Siegel 模形式（模 p），推广模形式与半单群上自守形式之间的联系。
• 建立 Siegel 模形式（模 p）的 Hecke 特征值系统与 GU_g(B) 上代数自守形式的 Hecke 特征值系统之间的对应关系，其中 GU_g(B) 是四元数代数上的单位酉相似群。
• 利用阿贝尔簇模空间的超特殊点作为桥梁，为 Siegel 模形式与代数自守形式之间提供几何框架。
• 将 Gross 关于代数自守形式（模 p）的理论推广至高维半单群，特别是 GU_g(B)，并验证其与 Hecke 作用的相容性。
• 证明 Siegel 模形式（模 p）的 Hecke 特征值系统恰好来自 GU_g(B) 上的代数自守形式，通过限制到超特殊点并结合 Dieudonné 模理论进行证明。

提出的方法

• 将问题约化为在有限集之间构造一个 GU_g(B) 相关的双陪集空间与 Siegel 模形式的超特殊点之间的 Hecke-不变双射。
• 利用 Hasse 刻划证明，Siegel 模形式在超特殊点上的限制与 Hecke 作用相容。
• 利用 Kodaira-Spencer 同构及微分形式层的扭作，将阿贝尔簇上的微分形式与自守数据联系起来。
• 应用 p-挠群的 Dieudonné 模理论，分析超特殊阿贝尔簇的局部结构与辛形式。
• 利用四元数赫米特空间与相似群的理论，在有限域上定义 GU_g(B) 上的代数自守形式。
• 利用伽罗瓦下降与基变换技术，证明在 𝔽_q 上定义的特征值可上延至 𝔽_p 上的特征形式，依赖于伽罗瓦作用在特征子空间上的命题。

实验结果

研究问题

• RQ1 Serre 关于椭圆模形式（模 p）与四元数代数上自守形式之间的对应关系，如何推广至高亏格的 Siegel 模形式？
• RQ2 Siegel 模形式（模 p）的 Hecke 特征值系统与 GU_g(B) 上代数自守形式的 Hecke 特征值系统之间的确切关系是什么？
• RQ3 阿贝尔簇模空间的超特殊点在多大程度上参数化了亏格 g 的 Siegel 模形式（模 p）的相关自守数据？
• RQ4 Siegel 模形式（模 p）上的 Hecke 算子如何与 GU_g(B) 上代数自守形式上的 Hecke 算子对应？
• RQ5 Siegel 模形式（模 p）的特征值系统能否被实现为 GU_g(B) 在 𝔽_p 上的有限维表示的特征值？

主要发现

• 亏格 g 的 Siegel 模形式（模 p）的 Hecke 特征值系统与 [Gro99] 和 [Gro98] 中定义的 GU_g(B) 上代数自守形式的特征值系统之间存在双射关系。
• 该对应关系通过将 Siegel 模形式限制到阿贝尔簇模空间的超特殊点实现，此时几何结构简化，自守数据变得可计算。
• 从 Siegel 模形式（模 p）到双陪集空间 GU_g(B)(𝔸_f)/GU_g(B)(ℚ) 上函数的限制映射是 Hecke-等变的，且在特征值系统上为双射。
• 通过伽罗瓦下降证明，Siegel 模形式（模 p）的特征值系统可上延至 𝔽_p 上的特征形式，从而确认其来自 GU_g(B) 的有限维表示。
• 证明依赖于 Hasse 刻划与 Hecke 作用的相容性，以及利用 Dieudonné 模分析超特殊阿贝尔簇的 p-挠结构。
• 该结果将 Serre 原有的亏格 1 定理推广至 g > 1 的情形，建立了模 p 模形式的 Langlands 类型对应关系的高维类比。