[论文解读] Simple D-module components of local cohomology modules

Claudia Polini, Robin Hartshorne|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2016

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文刻画了对非奇异射影概形 $V \subset \mathbb{P}^n_k$（余维数为 $r$）的局部上同调模 $H^r_I(A)$ 的简单 D-模分量，表明临界上同调模在 $V$ 的锥上具有唯一的简单子-D-模，其商模同构于 $m$ 个 $E$ 的直和，其中 $m = b_d - b_{d-2}$ 由代数 de Rham 上同调中的 Betti 数决定。关键结果是：对于一个亏格为 $g$ 的非奇异曲线，$H^{n-1}_I(A)$ 是简单模当且仅当 $g = 0$，通过 de Rham 上同调与 D-模理论代数地重新获得了 Raicu 的结果。

ABSTRACT

For a projective variety V in P^n over a field of characteristic zero, with homogeneous ideal I in A = k[x0,x1,...,xn], we consider the local cohomology modules H^i_I(A). These have a structure of holonomic D-module over A, and we investigate their filtration by simple D-modules. In case V is nonsingular, we can describe completely these simple components in terms of the Betti numbers of V.

研究动机与目标

• 确定射影概形 $V \subset \mathbb{P}^n_k$ 的局部上同调模 $H^i_I(A)$ 中简单 D-模分量的结构。
• 将 $H^r_I(A)$ 的 D-模合成因子与 $V$ 的代数 de Rham Betti 数联系起来。
• 在不依赖解析 D-模或 Riemann-Hilbert 对应的前提下，为 $H^r_I(A)$ 的 D-模结构提供一个纯代数的、特征零的证明。
• 建立一个对偶性：一个正则 D-模的上部 de Rham 上同调的维数，等于其商模中 $E$ 的直和分量的个数。

提出的方法

• 使用代数 de Rham 上同调计算正则 D-模的 $H^j_{\text{DR}}(H^r_I(A))$。
• 应用 de Rham 同调的强截取定理，将局部上同调与 $V$ 的整体上同调联系起来。
• 运用一个技术性结果，将 $\dim H^n_{\text{DR}}(M)$ 与正则 D-模 $M$ 的商模中 $E$ 的最大直和分量个数联系起来。
• 利用 Bernstein-Sato 理论与最小扩张理论，构造在 $V$ 的锥上支撑的简单 D-模。
• 利用完成映射 $A \to \hat{A}$ 将 $H^r_I(A)$ 与它的完成 $\hat{M}$ 联系起来，同时保持 de Rham 上同调不变。
• 以 Riemann-Hilbert 对应的精神应用，但证明本身完全为代数方法，避免使用解析方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于非奇异射影概形 $V \subset \mathbb{P}^n_k$（余维数为 $r$），$H^r_I(A)$ 的简单 D-模分量是什么？
• RQ2 $V$ 在代数 de Rham 上同调中的 Betti 数如何决定 $H^r_I(A)$ 作为 D-模的结构？
• RQ3 是否可以代数地计算 $H^r_I(A)$ 关于其最大简单子-D-模的商模中 $E$ 的直和分量个数？
• RQ4 能否仅通过代数 D-模理论重新获得 Raicu 关于 Veronese 嵌入下 $H^r_I(A)$ 简单性的结果？

主要发现

• 对于非奇异射影概形 $V \subset \mathbb{P}^n_k$（维数为 $d$，余维数为 $r$），局部上同调模 $H^r_I(A)$ 包含唯一一个在 $V$ 的锥上支撑的简单子-D-模，其商模同构于 $E^{b_d - b_{d-2}}$，其中 $b_i = \dim H^i_{\text{DR}}(V)$。
• 对于亏格为 $g$ 的非奇异曲线 $C$，$H^{n-1}_I(A)$ 具有一个简单子-D-模，其商模为 $E^{2g}$，因此 $H^{n-1}_I(A)$ 是简单模当且仅当 $g = 0$。
• 该结果通过一种与表示论不同的代数方法，重新获得了 Raicu 关于 $\mathbb{P}^d$ 的 $d$-重嵌入到 $\mathbb{P}^n$ 时 $H^r_I(A)$ 简单性的定理。
• 正则 D-模 $M$ 的上部 de Rham 上同调 $H^n_{\text{DR}}(M)$ 的维数等于 $M$ 的商模中可出现的 $E$ 的最大直和分量个数。
• 通过强截取定理，$H^r_I(A)$ 的 de Rham 上同调与射影概形 $V$ 的上同调同构，使得 $V$ 的 Betti 数得以控制 D-模结构。
• 对于奇异概形，$H^r_I(A)$ 的 D-模结构预计会反映其光滑局部的分层结构，其中奇异层贡献了部分结构，最终商模为 $E^{\dim H^d_{\text{DR}}(Y)}$。