[论文解读] Jet bundles on projective space II

Helge Øystein Maakestad|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文利用代数群理论、广义Verma模和最高权向量的零化子理想，研究了格拉斯曼流形上喷射丛的典范滤过。它恢复了作为P-模的射影空间上喷射丛结构的已知结果，并推导出格拉斯曼流形上其分裂类型和一阶喷射丛结构的显式公式。

ABSTRACT

Let G=SL(E) be the special linear algebraic group on E where E is a finite dimensional vector space over a field K of characteristic zero. In this paper we study the canonical filtration of the dual G-module of global sections of a G-linearized invertible sheaf L on the grassmannian G/P where P in G is the parabolic subgroup stabilizing a subspace W in E. We classify the canonical filtration as P-module and as a consequence we recover known formulas on the P-module structure of the jet bundle J(L) on projective space. We study the incidence complex for the invertible sheaf O(d) on the projective line and prove it gives a resolution of the incidence scheme I(O(d)) of O(d). The aim of this study is to apply it to the study of resolutions of ideal sheaves of discriminants of invertible sheaves on grassmannians and flag varieties. We also give an elementary proof of the Cauchy formula. Hence the paper introduce the canonical filtration of an arbitrary irreducible SL(E)-module and initiates a study of the canonical filtration as P-module where P in SL(E) is a parabolic subgroup.

研究动机与目标

• 对格拉斯曼流形 $X = \mathbb{G}(m,m+n)$ 上的一阶喷射丛 $\mathcal{P}^1_X(\mathcal{O}_X(d))$ 的 $P$-模结构进行分类，其中 $d \geq 1$。
• 利用典范滤过，恢复作为抽象局部自由层的射影空间上喷射丛分裂类型的已知公式。
• 研究 $\mathcal{O}(d)$ 在射影直线上的关联复形，并证明其为关联概形 $I^l(\mathcal{O}(d))$ 的理想层的解析。
• 对格拉斯曼流形上线丛 $\mathcal{O}(d)$ 的 $P$-模 $\mathrm{U}_l(\mathfrak{g})L^d$ 的典范滤过展开一般性研究。
• 将结果应用于射影空间和格拉斯曼流形上线性系统判别式的syzygies。

提出的方法

• 使用代数群、层论和广义Verma模的技术，分析 $\mathrm{SL}(V)$-模 $\mathrm{H}^0(X,\mathcal{O}_X(d))^*$ 的典范滤过 $\mathrm{U}_l(\mathfrak{g})L^d$，其中 $X = \mathbb{G}(m,m+n)$。
• 应用先前关于 $\mathrm{U}_l(\mathfrak{g})L^d$ 的结果，对喷射丛纤维 $\mathcal{P}^l(\mathcal{O}(d))(x)^*$ 的 $P$-模结构进行分类。
• 利用 $X = \mathbb{P}^n$ 时的同构 $\mathrm{U}_l(\mathfrak{g})L^d \cong L^{d-l} \otimes \mathrm{Sym}^l(\mathfrak{g}/\mathfrak{p}_L \otimes L)$，恢复已知的分裂类型公式。
• 构造关联复形 $\wedge^\bullet \mathcal{O}_{\mathbb{P}(W^*)}(-1)_Y \otimes \mathcal{P}^l(\mathcal{O}(d))^*_Y$，并证明其为 $I^l(\mathcal{O}(d))$ 的理想层的局部自由解析。
• 利用Koszul复形和喷射丛的性质，建立关联复形的解析性质。
• 应用Cauchy公式并研究 $\mathrm{SL}(V)$-模的自同构，以在 $\mathrm{Sym}^k(\operatorname{Hom}(W,V/W))$ 中构造最高权向量。

实验结果

研究问题

• RQ1 格拉斯曼流形 $X = \mathbb{G}(m,m+n)$ 上的一阶喷射丛 $\mathcal{P}^1_X(\mathcal{O}_X(d))$ 的 $P$-模结构是什么？
• RQ2 如何利用广义Verma模和零化子理想，对 $\mathrm{SL}(V)$-模 $\mathrm{H}^0(X,\mathcal{O}_X(d))^*$ 的典范滤过 $\mathrm{U}_l(\mathfrak{g})L^d$ 进行分类？
• RQ3 作为抽象局部自由层，射影空间 $\mathbb{P}^n$ 上喷射丛 $\mathcal{P}^l(\mathcal{O}(d))$ 的分裂类型是什么？
• RQ4 关联复形 $\wedge^\bullet \mathcal{O}_{\mathbb{P}(W^*)}(-1)_Y \otimes \mathcal{P}^l(\mathcal{O}(d))^*_Y$ 是否为关联概形 $I^l(\mathcal{O}(d))$ 的理想层的解析？
• RQ5 如何显式构造 $\mathrm{Sym}^k(\operatorname{Hom}(W,V/W))$ 中的最高权向量，作为 $\mathrm{SL}(m) \times \mathrm{SL}(n)$-模？

主要发现

• 对所有 $d \geq 1$，格拉斯曼流形 $X = \mathbb{G}(m,m+n)$ 上的一阶喷射丛 $\mathcal{P}^1_X(\mathcal{O}_X(d))$ 的 $P$-模结构已完全分类。
• 当 $X = \mathbb{P}^n$ 时，同构 $\mathrm{U}_l(\mathfrak{g})L^d \cong L^{d-l} \otimes \mathrm{Sym}^l(\mathfrak{g}/\mathfrak{p}_L \otimes L)$ 作为 $P$-模成立，从而恢复了喷射丛的纤维结构。
• 通过典范滤过方法，恢复了射影空间 $\mathbb{P}^n$ 上喷射丛 $\mathcal{P}^l(\mathcal{O}(d))$ 的分裂类型为已知公式。
• 关联复形 $\wedge^\bullet \mathcal{O}_{\mathbb{P}(W^*)}(-1)_Y \otimes \mathcal{P}^l(\mathcal{O}(d))^*_Y$ 被证明是 $I^l(\mathcal{O}(d))$ 的理想层的局部自由解析。
• 第 $i$ 个行列式 $|x_i| \in \mathrm{Sym}^i(\operatorname{Hom}(W,V/W))$ 被证明是 $\mathrm{SL}(m) \times \mathrm{SL}(n)$-模 $\mathrm{Sym}^i(\operatorname{Hom}(W,V\/W))$ 的最高权向量，其特征为 $\lambda(g) = \frac{b_1 \cdots b_i}{a_{m-i+1} \cdots a_m}$。
• 通过 [2] 的结果和Cauchy公式，证明了 $\mathrm{Sym}^k(\operatorname{Hom}(W,V/W))$ 中的所有最高权向量均为形如 $x_0^{d_0} x_1^{d_1} \cdots x_i^{d_i}$ 的形式，其中 $\sum i d_i = k$。