[论文解读] Singular localization and intertwining functors for reductive Lie algebras in prime characteristic

Roman Bezrukavnikov, Ivan Mirković+1 more|Scholarworks (University of Massachusetts Amherst)|Feb 4, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用 5

一句话总结

该论文通过在仿射 braid 群作用下建立具有奇异中心特征的李代数表示与抛物 Springer 纤维形式邻域上凝聚层之间的导出等价性，将特征为素数的半单李代数上的奇异局部化推广至更一般情形。它通过交织函子构造了仿射 braid 群在导出范畴上的作用，并利用 twisted D-模与 Grothendieck-Serre 对偶性描述了标准对偶性，将此前针对正则中心特征的结果推广到了奇异情形。

ABSTRACT

In math.RT/0205144 we observed that, on the level of derived categories, representations of the Lie algebra of a semisimple algebraic group over a field of finite characteristic with a given (generalized) regular central character can be identified with coherent sheaves on the formal neighborhood of the corresponding (generalized) Springer fiber. In the present paper we treat singular central characters. The basic step is the Beilinson-Bernstein localization of modules with a fixed (generalized) central character as sheaves on the partial flag variety corresponding to the singularity of the character. These sheaves are modules over a sheaf of algebras which is a version of twisted crystalline differential operators, but is actually larger. We discuss translation functors and intertwining functors. The latter generate an action of the affine braid group on the derived category of modules with a regular (generalized) central character, which intertwines different localization functors. We also describe the standard duality on Lie algebra modules in terms of D-modules and coherent sheaves.

研究动机与目标

• 将模表示理论中正则中心特征到奇异中心特征的奇异局部化等价性进行推广。
• 构造生成导出范畴上仿射 braid 群作用的交织函子。
• 利用 twisted D-模与凝聚层描述李代数模上的标准对偶性。
• 通过偏旗流形与 Azumaya 代数，将 Beilinson–Bernstein 局部化框架推广至奇异无穷小特征的情形。

提出的方法

• 在偏旗流形上利用 Beilinson–Bernstein 局部化，将具有固定中心特征的模实现为在扭曲晶态微分算子上的层。
• 在偏旗流形 $\cal P$ 上构造代数丛 $\widetilde{\cal D}_{\cal P}$，其为在中心流形上的 étale 覆盖上取值的 Azumaya 代数。
• 应用平移函子与交织函子，关联不同的局部化函子，并在导出范畴上实现仿射 braid 群的作用。
• 利用 Grothendieck-Serre 对偶性与典范线丛的平凡性，通过 $\mathbb{D}_{\cal O}$ 与 $\sigma^*$-扭曲对偶性描述 $\widetilde{\cal D}$-模上的标准对偶性。
• 利用同构 $\gamma_{\chi,\nu}(\mathcal{F}) \mapsto \gamma_{-\chi,\nu\check{}} \circ \mathbb{D}_{\cal O} \circ \sigma^*(\mathcal{F})$ 关联对偶性与仿射 braid 群作用。
• 利用 $\widetilde{\cal D}$-模与张量积及导出范畴的相容性，证明等价性与伴随关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用偏旗流形与扭曲 D-模在正特征下对奇异中心特征进行局部化？
• RQ2 仿射 braid 群在关联李代数表示的不同局部化函子中起什么作用？
• RQ3 李代数模上的标准对偶性如何通过凝聚层与 $\widetilde{\cal D}$-模来表达？
• RQ4 具有奇异中心特征的表示的导出范畴能否通过抛物 Springer 纤维的形式邻域来描述？
• RQ5 Grothendieck-Serre 对偶性如何与仿射 braid 群作用及 Springer 纤维几何相互作用？

主要发现

• 具有固定奇异广义中心特征的 $\mathfrak{g}$-模的导出范畴，与对应抛物 Springer 纤维的形式邻域上凝聚层的导出范畴等价。
• 交织函子在正则块的导出范畴上生成了仿射 braid 群的明确定义作用，关联了不同的局部化函子。
• 李代数模上的标准对偶性对应于 $\sigma^*$-扭曲、$\mathbb{D}_{\cal O}$ 与 braid 群元素 $\bf{w}_0$ 的逆的复合，如推论 3.0.11 所示。
• $\widetilde{\cal D}_{\cal P}$ 是导出仿射的，并定义了一个 Azumaya 代数，其等价类由中心特征与权决定。
• 同构 $\gamma_{\chi,\nu}(\mathcal{F})\check{\ }} \cong \mathbf{I}_{\widetilde{\mathbf{w}}_0}^{-1} \circ \gamma_{-\chi,\nu\check{}} \circ \mathbb{D}_{\cal O} \circ \sigma^*(\mathcal{F})$ 以仿射 braid 群为框架，提供了对偶性的规范描述。
• 该构造与 Frobenius 拉直及 $W$-作用相容，将 [BMR] 的结果从正则中心特征推广到了奇异中心特征。