[论文解读] Singularities of pluri-theta divisors in Char $p>0$

Christopher D. Hacon|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文证明了在正特征 p > 0 下，主极化阿贝尔簇（PPAVs）上的多重theta除子具有温和奇点，即对任意有理数 ε ∈ (0,1) 和 D ∈ |mΘ|，对偶对 (X, (1−ε)/m D) 是强 F-正则的。关键结果为：对所有 x ∈ X，有 mult_x(D) ≤ m·dim X，该结论通过测试理想与正特征几何中的通用消失性推广了经典特征零结果。

ABSTRACT

We show that if $(X,\Theta)$ is a PPAV over an algebraically closed field of characteristic $p>0$ and $D\in |m\Theta|$, then $(X,\frac 1 m D)$ is a limit of strongly $F$-regular pairs and in particular ${ m mult}_x(D)\leq m\cdot \dim X$ for any $x\in X$.

研究动机与目标

• 将已知的特征零下多重theta除子的对数可极化奇点性质推广至正特征 p > 0。
• 在正特征 p > 0 的主极化阿贝尔簇上，建立对偶对 (X, (1−ε)/m D) 的强 F-正则性，从而蕴含奇点为温和奇点。
• 证明任意多重theta除子 D ∈ |mΘ| 在点 x 处的重数满足 mult_x(D) ≤ m·dim X。
• 用测试理想与通用消失性替代特征零下的工具，如乘子理想与 Kawamata-Viehweg 消失性定理。

提出的方法

• 使用测试理想 τ(X, Δ) 与 σ(X, Δ) 定义正特征下的强 F-正则性与强 F-纯性。
• 在阿贝尔簇上应用傅里叶- Mukai 变换，以关联 X 上层与对偶阿贝尔簇 bX 上层的上同调性质。
• 应用 [CH03]、[Hacon04] 与 [PP08] 中的通用消失性定理，证明对一般 x ∈ bX，有 H^0(σ(X, Δ) ⊗ O_X(Θ) ⊗ P_x^) ≠ 0。
• 利用上同调与基变换，推导出对一般 x ∈ bX，从 H^0(σ(X, Δ) ⊗ O_X(Θ) ⊗ P_x^) 到 k(x) 的求值映射是满射。
• 若 Θ 的一般平移在 σ(X, Δ) 的余支集上消失，则其余支集必为空，故 σ(X, Δ) = O_X。
• 通过 Serre 消失性与除子类的渐近正性建立结论，归结为证明：对 i > 0 且大 n，有 H^i(O_X((1−p^{ne})(K_X+Δ) + (p^{ne}−t)Θ)) = 0。

实验结果

研究问题

• RQ1 特征零下多重theta除子的对数可极化性质是否可推广至正特征 p > 0？
• RQ2 强 F-正则性是否可用于控制正特征下多重theta除子的奇点？
• RQ3 在正特征下，对 D ∈ |mΘ| 是否有 bound mult_x(D) ≤ m·dim X，且能否通过测试理想推导出？
• RQ4 在 F-奇点语境下，通用消失性结果能否替代 Kawamata-Viehweg 消失性定理？
• RQ5 在正特征下，不可约 theta 除子是否具有 F-有理奇点，如同在特征零下一样？

主要发现

• 在正特征 p > 0 的主极化阿贝尔簇 (X, Θ) 上，对任意有理数 ε ∈ (0,1) 和 D ∈ |mΘ|，对偶对 (X, (1−ε)/m D) 是强 F-正则的。
• 由此可得，(X, 1/m D) 在对数可极化意义下成立，即所有对数离差均 ≥0。
• 任意多重theta除子的重数满足：对所有 x ∈ X，有 mult_x(D) ≤ m·dim X。
• 测试理想 σ(X, (1−ε)/m D) 的余支集为空，故 σ(X, (1−ε)/m D) = O_X，这蕴含强 F-正则性。
• 证明依赖于通用消失性与上同调消失性，替代了正特征下 Kawamata-Viehweg 消失性失效的问题。
• 该结果在 (1−ε)/m D 的指标不被 p 整除的条件下成立，且通过取极限可推广至所有 ε。