[论文解读] Singularities of theta divisors and the geometry of A_5

Gavril Farkas, Samuel Grushevsky+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文通过分析 principally polarized abelian varieties (ppav) 上 theta 除子的奇点，研究了模空间 $Ø_5$ 的几何结构。利用 Prym 映射和 Brill-Noether 理论，证明了在 $\mathcal{A}_5$ 中，其 theta 除子具有非普通双重奇点的 ppav 的位于 $H \subset \mathcal{A}_5$ 有两个有理曲面的分量，且其在 Chow 环中的类为 $[H] = \left(\frac{g!}{16}(g^3 + 7g^2 + 18g + 24) - (g+4)2^{g-4}(2^g + 1)\right)\lambda_1^2$，并通过 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上的有理曲线给出了显式的几何描述。关键结果是通过从 $|\mathcal{O}(3,1)| \times |\mathcal{O}(1,3)|$ 上的 $\mathbb{P}^5$-丛到 $\mathcal{Q}_5$（具有两个消失 theta-零点的 Prym 曲线的位于）的通用有限有理映射，证明了分量 $\theta_{\mathrm{null}}^4$ 的有理曲面性。本文确立了 $H$ 是 $\mathcal{A}_g$ 中的 codimension-two cycle，且当 $g=5$ 时，$H$ 是两个有理曲面分量的并集，其中 $\overline{N_0'}$ 在 $\overline{\mathcal{A}_5}$ 中具有最小斜率。研究还识别出 $H$ 为具有非普通双重奇点的 ppav 的位于的闭包，并证明在亏格 4 时 $\theta_{\mathrm{null}}^4 = H$。

ABSTRACT

We study the codimension two locus H in A_g consisting of principally polarized abelian varieties whose theta divisor has a singularity that is not an ordinary double point. We compute the class of H in A_g for every g. For g=4, this turns out to be the locus of Jacobians with a vanishing theta-null. For g=5, via the Prym map we show that H in A_5 has two components, both unirational, which we completely describe. This gives a geometric classification of 5-dimensional ppav whose theta-divisor has a quadratic singularity of non-maximal rank. We then determine the slope of the effective cone of A_5 and show that the component N_0' of the Andreotti-Mayer divisor has minimal slope 54/7. Furthermore, the Iitaka dimension of the linear system corresponding to N_0' is submaximal.

研究动机与目标

• 计算 $\mathcal{A}_g$ 中具有非普通双重奇点的 theta 除子的 ppav 的位于 $H$ 的 codimension-two cycle 类 $[H] \in CH^2(\mathcal{A}_g)$。
• 通过 Prym 映射 $P: \mathcal{R}_6 \to \mathcal{A}_5$ 描述 $H \subset \mathcal{A}_5$ 的几何结构，特别是分析其分歧与反分歧除子。
• 通过从 $|\mathcal{O}(3,1)| \times |\mathcal{O}(1,3)|$ 上的 $\mathbb{P}^5$-丛到 $\mathcal{Q}_5$（具有两个消失 theta-零点的 Prym 曲线的位于）的通用有限有理映射，证明 $\theta_{\mathrm{null}}^4 \subset \mathcal{A}_5$ 的有理曲面性。
• 确定 $\overline{\mathcal{A}_5}$ 的有效锥的斜率，并证明 Andreotti-Mayer 除子的分量 $\overline{N_0'}$ 具有最小斜率。
• 建立 $\theta_{\mathrm{null}}^3 = H$ 在亏格 4 时的集合等式，表明具有消失 theta-零点的雅可比簇的位于与 $H$ 重合。

提出的方法

• 本文使用全族 $\phi: \mathcal{X}_g \to \mathcal{A}_g$，并定义 $\mathcal{S} \subset \mathcal{X}_g$ 为 theta 除子奇点的位于，将其分解为分量 $\mathcal{S}_{\mathrm{null}}$、$\mathcal{S}'$ 和 $\mathcal{S}_{\mathrm{dec}}$。
• 定义 $H \subset \mathcal{A}_5$ 为具有非普通双重奇点的 ppav 的位于的闭包，并通过 theta 函数的 Hessian 条件在 $CH^2(\mathcal{A}_g)$ 中计算其类。
• 利用 Prym 映射 $P: \mathcal{R}_6 \to \mathcal{A}_5$ 将 $H$ 与分歧除子 $\mathcal{Q}$ 和反分歧除子 $\mathcal{U}$ 关联，其中 $P^*(N_0') = 2\mathcal{Q} + \mathcal{U}$。
• 从 $|\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1}(3,1)| \times |\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1}(1,3)|$ 上的 $\mathbb{P}^5$-丛构造一个有理映射 $\psi: \mathcal{U} \dashrightarrow \mathcal{Q}_5$ 到具有两个消失 theta-零点的 Prym 曲线的位于 $\mathcal{Q}_5$。
• 利用 canonical map $\varphi_{(\theta_1,\theta_2)}: C \to \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 的几何结构，证明其像 $\Gamma$ 位于线性系统 $|\mathcal{I}^{2}_{R_1 \cdot R_2}(5,5)|$ 中，并应用 Bézout 定理从 $\Gamma$ 重构 $R_1, R_2$。
• 从 $\mathcal{U}$ 的有理曲面性推导出 $\mathcal{Q}_5$ 的有理曲面性，并证明有理映射 $\psi$ 是通用有限且满射，从而推出 $\mathcal{Q}_5$ 是有理曲面。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Chow 环 $CH^2(\mathcal{A}_g)$ 中，具有非普通双重奇点的 theta 除子的 ppav 的 codimension-two 位于 $H \subset \mathcal{A}_g$ 的类是什么？
• RQ2 Prym 映射 $P: \mathcal{R}_6 \to \mathcal{A}_5$ 如何帮助描述 $H \subset \mathcal{A}_5$ 的几何结构？
• RQ3 $\theta_{\mathrm{null}}^4 \subset \mathcal{A}_5$ 是否有理曲面？如果是，通过何种几何构造？
• RQ4 $\overline{\mathcal{A}_5}$ 的有效锥的斜率是多少？Andreotti-Mayer 除子的分量 $\overline{N_0'}$ 是否具有最小斜率？
• RQ5 $\mathcal{A}_4$ 中的位于 $H \subset \mathcal{A}_4$ 是否等于 $\theta_{\mathrm{null}}^3$？该等式是否在集合意义上成立？

主要发现

• 具有非普通双重奇点的 theta 除子的 ppav 的位于 $H \subset \mathcal{A}_g$ 在 $CH^2(\mathcal{A}_g)$ 中的类被计算为 $[H] = \left(\frac{g!}{16}(g^3 + 7g^2 + 18g + 24) - (g+4)2^{g-4}(2^g + 1)\right)\lambda_1^2$。
• 在亏格 4 时，位于 $H$ 在集合意义上与 $\theta_{\mathrm{null}}^3$（具有消失 theta-零点的雅可比簇的位于）重合。
• 在亏格 5 时，$H \subset \mathcal{A}_5$ 有两个不可约分量，且均为有理曲面，其中分量 $\theta_{\mathrm{null}}^4$ 通过从 $|\mathcal{O}(3,1)| \times |\mathcal{O}(1,3)|$ 上的 $\mathbb{P}^5$-丛到 $\mathcal{Q}_5$ 的通用有限有理映射实现有理曲面性。
• $\overline{\mathcal{A}_5}$ 中 Andreotti-Mayer 除子的分量 $\overline{N_0'}$ 在 $\overline{\mathcal{A}_5}$ 的有效锥中具有最小斜率。
• 有理映射 $\psi: \mathcal{U} \dashrightarrow \mathcal{Q}_5$ 是通用有限且满射，证明了 $\mathcal{Q}_5$ 是有理曲面，因此 $\theta_{\mathrm{null}}^4 = \overline{P(\mathcal{Q}_5)}$ 也是有理曲面。
• $\mathcal{A}_5$ 中的位于 $H$ 是两个有理曲面分量的并集，且通过 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上的有理曲线的构造，为 $H$ 提供了完整的几何描述。