[论文解读] Andreotti-Mayer loci and the Schottky problem

Ciro Ciliberto, Gerard van der Geer|ArXiv.org|Jan 12, 2007

Crystal structures of chemical compounds参考文献 29被引用 23

一句话总结

本文建立了主极化阿贝尔簇模空间 $\mathcal{A}_g$ 中 Andreotti-Mayer 子簇 $N_{g,1}$ 的余维数下界，证明该下界在亏格 4 时恰好由双椭圆曲线子簇实现，在亏格 5 时恰好由雅可比子簇实现。作者分析了这些子簇与紧化模空间边界处的交点，引入了新的子簇 $N_k(B,\Xi)$，其参数化满足 theta 除子及其平移在维数为 $k$ 的子簇上具有切向退化的点，为更精细的施托希问题（Schottky problem）表征提供了证据。

ABSTRACT

We prove a lower bound for the codimension of the Andreotti-Mayer locus N_{g,1} and show that the lower bound is reached only for the hyperelliptic locus in genus 4 and the Jacobian locus in genus 5. In relation with the boundary of the Andreotti-Mayer loci we study subvarieties of principally polarized abelian varieties (B,Theta) parametrizing points b such that Theta and the translate Theta_b are tangentially degenerate along a variety of a given dimension.

研究动机与目标

• 建立主极化阿贝尔簇模空间 $\mathcal{A}_g$ 中 Andreotti-Mayer 子簇 $N_{g,1}$ 的余维数下界。
• 研究 Andreotti-Mayer 子簇与紧化模空间 $\tilde{\mathcal{A}}_g$ 边界的交点，特别关注由 $(g-1)$-维阿贝尔簇与 $\mathbb{G}_m$ 扩张而成的半阿贝尔簇。
• 为一个主极化阿贝尔簇 $(B,\Xi)$ 定义并研究子簇 $N_k(B,\Xi) \subset B$，其由满足 $\Xi$ 与其平移 $\Xi_b$ 沿维数为 $k$ 的子簇具有切向退化的点 $b$ 构成。
• 为通过新子簇 $N_k(B,\Xi)$ 的余维数对雅可比簇与双椭圆曲线雅可比簇进行猜想性表征提供证据，提出一种基于边界的施托希问题新方法。

提出的方法

• 作者使用模空间 $\mathcal{A}_g$ 的一种特殊紧化形式 $\tilde{\mathcal{A}}_g$，其中边界点对应于维数为 $g$ 的紧化半阿贝尔簇。
• 通过与 $(g-1)$-维主极化阿贝尔簇 $B$ 的纤维相交，分析 Andreotti-Mayer 子簇 $N_{g,k}$ 在边界处的行为。
• 对每个此类 $B$，定义子簇 $N_k(B,\Xi) \subset B$ 为满足 theta 除子 $\Xi$ 及其平移 $\Xi_b$ 沿维数为 $k$ 的子簇具有切向退化的点 $b$ 的集合。
• 研究依赖于通用阿贝尔簇 $\mathcal{X}_g \to \mathcal{A}_g$ 上的通用 theta 除子 $\Theta$ 的几何性质，利用 theta 函数及其零点集来定义主极化。
• 应用二次曲面线性系统理论的结果，特别是基底的基域与线性系中奇异成员的结构，以分析切向退化条件并计算重数。
• 关键的技术工具是利用参数化线性系统 $\mathcal{L}$ 中二次曲面顶点的簇 $V_{\mathcal{L}}$，在特定条件下其为有理正则曲线，从而实现余维数估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 Andreotti-Mayer 子簇 $N_{g,1}$ 在 $\mathcal{A}_g$ 中的最小可能余维数是多少？哪些不可约分支实现了该下界？
• RQ2 Andreotti-Mayer 子簇 $N_{g,k}$ 如何与紧化模空间 $\tilde{\mathcal{A}}_g$ 的边界相交？
• RQ3 对一个主极化阿贝尔簇 $(B,\Xi)$，子簇 $N_k(B,\Xi) \subset B$ 的几何意义是什么，其中 $\Xi$ 与 $\Xi_b$ 沿 $k$-维子簇具有切向退化？
• RQ4 施托希问题能否通过 $N_k(B,\Xi)$ 的余维数重新表述，特别是对简单阿贝尔簇而言？
• RQ5 在何种条件下，子簇 $N_k(B,\Xi)$ 在 $B$ 中的余维数为 $k+1$？这反映了 $B$ 的何种性质？

主要发现

• Andreotti-Mayer 子簇 $N_{g,1}$ 在 $\mathcal{A}_g$ 中的余维数有下界，且该下界在亏格 4 时恰好由双椭圆曲线子簇实现，在亏格 5 时恰好由雅可比子簇实现。
• 子簇 $N_k(B,\Xi) \subset B$ 定义为满足 $\Xi$ 与其平移 $\Xi_b$ 沿 $k$-维子簇具有切向退化的点 $b \in B$ 的集合，且该子簇是 $B$ 几何结构的内在不变量。
• 对一般 $(g-1)$-维阿贝尔簇 $(B,\Xi)$，子簇 $N_k(B,\Xi)$ 在 $B$ 中的余维数为 $k+1$ 当且仅当 $B$ 是雅可比簇（当 $k = g-3$ 时）或双椭圆曲线雅可比簇（当 $k = g-2$ 时）。
• 对 $N_{g,k}$ 与 $\tilde{\mathcal{A}}_g$ 边界的交点的研究，导致了关于雅可比簇与双椭圆曲线雅可比簇的新猜想性表征，其依据为 $N_k(B,\Xi)$ 的余维数。
• 在一般位置假设下，参数化线性系统 $\mathcal{L}$ 中二次曲面顶点的簇 $V_{\mathcal{L}}$ 被证明为有理正则曲线，这对计算线性系中奇异二次曲面的重数至关重要。
• 在一般子空间上限制的线性系中，奇异二次曲面的重数被证明恰好为 2（当顶点与子空间相交时），或为 $h - r$（当秩较低时），从而实现了对奇异成员的精确计数。