[论文解读] Skew-monoidal reflection and lifting theorems

Stephen Lack, Ross Street|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文将 Day 反射定理推广至扭曲张量范畴，建立了在何种条件下，扭曲张量结构可从范畴提升至余单群的 Eilenberg-Moore代数范畴。证明了若函子 $ L \dashv N $ 在 $ L(\eta_X \otimes 1_{NB}) $ 上满足某种可逆性条件，则 $ \mathscr{A} $ 可赋予唯一的扭曲张量结构，使得 $ L $ 为正规协张量函子且 $ \psi_{X,NB} $ 可逆，并表明在自然条件下，扭曲缠绕结构可被提升至余单群余代数。

ABSTRACT

The Day Reflection Theorem gives conditions under which a reflective subcategory of a closed monoidal category can be equipped with a closed monoidal structure in such a way that the reflection adjunction becomes a monoidal adjunction. We adapt this result to skew monoidal categories. The beauty of this variant is further evidence that the direction choices involved in the skew notion are important for organizing, and adding depth to, certain mathematical phenomena. We also provide conditions under which a skew monoidal structure can be lifted to the category of Eilenberg-Moore algebras for a comonad.

研究动机与目标

• 将 Day 反射定理推广至扭曲张量范畴的设定。
• 建立在何种条件下，扭曲张量结构可被提升至余单群的 Eilenberg-Moore 代数范畴。
• 证明在适当条件下，可将涉及扭曲作用的扭曲缠绕结构提升至余单群余代数范畴。
• 将余单群的提升结果与幂等余单群情形下的扭曲反射定理进行比较。
• 证明在余代数范畴上得到的扭曲张量结构保持余极限，并通过一个忠实满函子的分解构造而成。

提出的方法

• 通过在所有 $ X \in \mathscr{X} $，$ B \in \mathscr{A} $ 上引入对 $ L(\eta_X \otimes 1_{NB}) $ 可逆性的条件，将 Day 反射定理适配至扭曲张量范畴。
• 通过 $ A \bar{\otimes} B = L(NA \otimes NB) $ 构造 $ \mathscr{A} $ 上的扭曲张量结构，约束通过涉及 $ \alpha, \lambda, \rho $ 以及伴随关系 $ L \dashv N $ 的交换图定义。
• 引入相对于扭曲作用的扭曲缠绕概念，推广了早期关于扭曲缠绕的研究。
• 利用在扭曲作用范畴上的余单群 $ G $ 的 Eilenberg-Moore 范畴 $ \mathscr{A}^G $，将扭曲张量结构进行提升。
• 在 $ \gamma $ 与余单群结构相容的条件下，证明了遗忘函子 $ U: \mathscr{A}^G \to \mathscr{A} $ 成为协张量函子，其单位约束为 $ \varepsilon_I: GI \to I $。
• 将结果应用于具体例子：当 $ \mathscr{C} $ 是一个对象集为 $ O $ 的范畴，且 $ G = \xi_! \xi^* $ 是由函数 $ \xi: U \to O $ 导出的余单群时，证明 $ \mathrm{Set}/U $ 上的提升结构源于一个忠实满函子 $ F: \mathscr{A} \to \mathscr{C} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，范畴 $ \mathscr{X} $ 上的扭曲张量结构可通过一个满足可逆余单位的反射 $ L \dashv N $ 提升至范畴 $ \mathscr{A} $？
• RQ2 如何将扭曲张量结构提升至作用于扭曲作用范畴的余单群的 Eilenberg-Moore 范畴？
• RQ3 在何种条件下，可将具有扭曲作用的范畴上的扭曲缠绕结构提升至余单群余代数范畴？
• RQ4 在幂等余单群的情形下，扭曲反射定理与通过余单群提升扭曲张量结构的结果有何关系？
• RQ5 当范畴 $ \mathrm{Set}/U $ 配备由余单群 $ G = \xi_! \xi^* $ 导出的提升扭曲张量结构时，其范畴结构为何？

主要发现

• 当且仅当对所有 $ X \in \mathscr{X} $，$ B \in \mathscr{A} $，$ L(\eta_X \otimes 1_{NB}) $ 可逆时，$ \mathscr{A} $ 上存在一个扭曲张量结构，使得 $ L: \mathscr{X} \to \mathscr{A} $ 为正规协张量函子且 $ \psi_{X,NB} $ 可逆，且该结构在同构意义下唯一。
• 在 $ \mathscr{A} $ 上提升的扭曲张量结构由 $ A \bar{\otimes} B = L(NA \otimes NB) $ 给出，其约束通过涉及伴随关系与 $ \mathscr{X} $ 上原始扭曲张量结构的交换图定义。
• 当 $ G $ 是作用于扭曲作用范畴上的余单群，且扭曲缠绕与余单群结构相容时，遗忘函子 $ U: \mathscr{A}^G \to \mathscr{A} $ 成为协张量函子，其单位约束为 $ \varepsilon_I: GI \to I $。
• 在幂等余单群 $ G $ 的情形下，通过提升结果在 $ \mathscr{C}^G $ 上得到的扭曲张量结构与通过扭曲反射定理得到的结构一致，表明两种方法的一致性。
• 在 $ \mathscr{C} $ 为对象集为 $ O $ 的范畴，$ \xi: U \to O $，且 $ G = \xi_! \xi^* $ 的例子中，$ \mathrm{Set}/U $ 上的提升扭曲张量结构保持余极限，并源于一个忠实满函子 $ F: \mathscr{A} \to \mathscr{C} $，其中 $ \mathscr{A} $ 的对象集为 $ U $。