[论文解读] Smoothness of cohomology sheaves of stacks of shtukas

Cong Xue|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 9

一句话总结

该论文证明了对于任意半单群 $G$，shtuka 栈的紧支集上同调层在 $(X\setminus N)^I$ 上是 ind-光滑的，且其几何通用纤维上带有 $\operatorname{Weil}(X\setminus N,\overline{\eta})^I$ 的作用。证明依赖于 Eichler-Shimura 关系和创生/湮灭算子，避免了紧化和 Hecke 模的有限性假设，并推广至非分裂群和尖点层。

ABSTRACT

We prove, for all reductive groups, that the cohomology sheaves with compact support of stacks of shtukas are ind-smooth over $(X - N)^I$ and that their geometric generic fibers are equiped with an action of $ ext{Weil}(X - N, \overlineη)^I$. Our method does not use any compactification of stacks of shtukas.

研究动机与目标

• 在不依赖紧化的情况下，建立任意半单群 $G$ 的 shtuka 栈上同调层在 $(X\setminus N)^I$ 上的 ind-光滑性。
• 提供一种新证明，表明上同调层的几何通用纤维上带有 $\operatorname{Weil}(\eta,\overline{\eta})^I$ 的作用，且该证明独立于 Hecke 模的有限性假设。
• 将结果推广至任意分划 $I = I_1 \sqcup I_2$，证明对任意在 $(X\setminus N)^{I_2}$ 上的闭点 $\overline{u}$，限制到 $({\overline{\eta}})^{I_1} \times \overline{u}$ 为常层。
• 通过证明从几何通用点到任意几何点的特化映射是同构，证明上同调层在 $(X\setminus N)^I$ 上是 ind-光滑的。
• 通过常项态射定义并研究光滑尖点上同调子层 $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^{j,\operatorname{cusp}}$，并证明其光滑性及在通用纤维上的有限维性。

提出的方法

• 利用 Lafforgue (2018) 的 Eichler-Shimura 关系，构造了对几何通用纤维上 Weil 群作用的新证明，避免了对 Hecke 模有限性的依赖。
• 应用 Lafforgue (2018) 的创生与湮灭算子，构造一个态射 $\Upsilon: \mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{\overline{\eta_I}} \to \mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{\overline{x}}$，其中 $\overline{x}$ 为任意几何点。
• 使用 'Zorro' 引理，证明复合映射 $\Upsilon \circ \mathfrak{sp}_{\overline{x}}^*$ 和 $\mathfrak{sp}_{\overline{x}}^* \circ \Upsilon$ 是同构，从而证明特化映射是同构。
• 利用 ind-光滑性结果，将常项态射从 $\eta^I$ 扩展到 $(X\setminus N)^I$，从而定义尖点上同调子层。
• 将尖点上同调层定义为所有适当抛物子群上常项态射的核的交集。
• 利用尖点层的通用纤维为有限维（来自 [Xue18a]）以及特化映射为同构的事实，得出尖点层是光滑的。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意半单群 $G$，上同调层 $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^j$ 是否在 $(X\setminus N)^I$ 上是 ind-光滑的？
• RQ2 能否在不假设上同调层作为 Hecke 代数模为有限型的前提下，建立 $\operatorname{Weil}(\eta,\overline{\eta})^I$ 在几何通用纤维上的作用？
• RQ3 对于任意分划 $I = I_1 \sqcup I_2$ 及任意在 $(X\setminus N)^{I_2}$ 上的闭点 $\overline{u}$，上同调层 $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^j$ 限制到 $({\overline{\eta}})^{I_1} \times \overline{u}$ 是否仍为常层？
• RQ4 对于 $(X\setminus N)^I$ 的任意几何点 $\overline{x}$，特化映射 $\mathfrak{sp}_{\overline{x}}^*: \mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{\overline{x}} \to \mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{\overline{\eta_I}}$ 是否为同构？
• RQ5 尖点上同调子层 $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^{j,\operatorname{cusp}}$ 是否在 $(X\setminus N)^I$ 上光滑？

主要发现

• 上同调层 $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^j$ 在 $(X\setminus N)^I$ 上是 ind-光滑的，即它是光滑 $E$-层的归纳极限。
• 对于 $(X\setminus N)^I$ 的任意几何点 $\overline{x}$，特化映射 $\mathfrak{sp}_{\overline{x}}^*: \mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{\overline{x}} \to \mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{\overline{\eta_I}}$ 是同构，从而证明了 ind-光滑性。
• $\operatorname{Weil}(\eta,\overline{\eta})^I$ 在 $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{\overline{\eta_I}}$ 上的作用通过 $\operatorname{Weil}(X\setminus N,\overline{\eta})^I$ 因子化，从而将 Weil 群作用扩展到整个基空间。
• $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{({\overline{\eta}})^I}$ 在 $({\overline{\eta}})^I$ 上是常层，因此也是 ind-光滑的。
• 对于任意分划 $I = I_1 \sqcup I_2$，对任意在 $(X\setminus N)^{I_2}$ 上的几何点 $\overline{u}$，上同调层 $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^j$ 限制到 $({\overline{\eta}})^{I_1} \times \overline{u}$ 是常层。
• 尖点上同调层 $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^{j,\operatorname{cusp}}$ 在 $(X\setminus N)^I$ 上是光滑的，因为它既是 ind-光滑的，其几何通用纤维又是有限维的。