[论文解读] Sobolev Metrics on Shape Space, II: Weighted Sobolev Metrics and Almost Local Metrics

Martin Bauer, Philipp Harms+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文通过使用依赖于体积的权重函数 Φi(Vol(f))，在形状空间上引入加权Sobolev度量，构造了尺度不变且近乎局部的黎曼度量，适用于浸入空间。推导了这些度量的测地线方程，并证明了其适定性，表明测地线指数映射是局部微分同胚，该方法在黎曼流形中的曲面匹配与形状分析中具有应用价值。

ABSTRACT

In continuation of [3] we discuss metrics of the form $$ G^P_f(h,k)=\int_M \sum_{i=0}^pΦ_i(\Vol(f)) \g((P_i)_fh,k) \vol(f^*\g) $$ on the space of immersions $\Imm(M,N)$ and on shape space $B_i(M,N)=\Imm(M,N)/\on{Diff}(M)$. Here $(N,\g)$ is a complete Riemannian manifold, $M$ is a compact manifold, $f:M o N$ is an immersion, $h$ and $k$ are tangent vectors to $f$ in the space of immersions, $f^*\g$ is the induced Riemannian metric on $M$, $\vol(f^*\g)$ is the induced volume density on $M$, $\Vol(f)=\int_M\vol(f^*\g)$, $Φ_i$ are positive real-valued functions, and $(P_i)_f$ are operators like some power of the Laplacian $Δ^{f^*\g}$. We derive the geodesic equations for these metrics and show that they are sometimes well-posed with the geodesic exponential mapping a local diffeomorphism. The new aspect here are the weights $\Ph_i(\Vol(f))$ which we use to construct scale invariant metrics and order 0 metrics with positive geodesic distance. We treat several concrete special cases in detail.

研究动机与目标

• 通过在Sobolev型度量中引入依赖于体积的权重，发展形状空间上的尺度不变黎曼度量。
• 解决先前形状空间上Sobolev度量缺乏尺度不变性的问题。
• 建立在浸入空间上加权Sobolev度量的测地线方程的适定性。
• 通过加权算子构造近乎局部的度量，并保证正的测地线距离。
• 为形状匹配提供一个通用框架，具备改进的数值与几何性质。

提出的方法

• 本文在浸入空间 Imm(M,N) 上定义黎曼度量，形式为 G^P_f(h,k) = ∫_M ∑_{i=0}^p Φ_i(Vol(f)) · g̅((P_i)_f h, k) vol(f*ḡ)，其中 Φ_i 为总积体积的正函数。
• 利用微分几edric工具，计算路径在 Imm(M,N) 上沿的拉回度量、逆度量、体积密度及总积体积的一阶变分。
• 通过Levi-Civita联络与变分原理推导测地线方程，其中联络涉及Laplacian与曲率项。
• 分析向量值平均曲率的微分，并推导其在法向与切向变形下的变分。
• 证明在权重函数与算子满足适当条件时，测地线指数映射为局部微分同胚。
• 详细研究具体实例，包括零阶与具有尺度不变性的度量，通过特定选择 Φ_i 与 P_i 实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出在保持形状空间上测地线方程适定性的同时具有尺度不变性的加权Sobolev度量？
• RQ2 依赖于体积的权重函数 Φ_i(Vol(f)) 如何影响测地线流的几何结构与正则性？
• RQ3 在何种条件下，加权Sobolev度量的测地线指数映射为局部微分同胚？
• RQ4 能否通过此类加权算子构造出具有正测地线距离的近乎局部度量？
• RQ5 度量、体积与平均曲率的微分几何变分如何贡献于测地线方程的推导？

主要发现

• 在权重函数与微分算子满足适当条件时，加权Sobolev度量的测地线方程是适定的，且测地线指数映射为局部微分同胚。
• 使用依赖于体积的权重 Φ_i(Vol(f)) 可实现形状空间上尺度不变度量的构造，解决了早期Sobolev度量的局限性。
• 本文推导出拉回度量、体积密度与总积体积的一阶变分的显式公式，这对计算测地线方程至关重要。
• 计算了向量值平均曲率的微分，表明其依赖于法向变分、曲率项以及切向分量上的李导数。
• 具体实例表明，零阶加权度量可产生正的测地线距离，使其适用于形状比较。
• 该框架可通过选择抑制度量结构中长程相互作用的权重，实现近乎局部度量的构造。