[论文解读] Solutions of DEs and PDEs as Potential Maps Using First Order Lagrangians

Constantin Udrişte|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2000

Advanced Differential Geometry Research参考文献 4被引用 23

一句话总结

本文通过在配备类萨斯奇度量的喷层丛上使用一阶拉格朗日量，将常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的解表述为预测地线和势能映射。关键贡献在于通过协变哈密顿系统实现几何统一，使微分方程和偏微分方程的解成为一阶拉格朗日量的极值，推广了洛伦兹世界力定律，并解决了庞加莱提出的经典问题：如何通过几何结构将向量场轨迹转换为测地线。

ABSTRACT

Using parametrized curves (Section 1) or parametrized sheets (Section 3), and suitable metrics, we treat the jet bundle of order one as a semi-Riemann manifold. This point of view allows the description of solutions of DEs as pregeodesics (Section 1) and the solutions of PDEs as potential maps (Section 3), via Lagrangians of order one or via generalized Lorentz world-force laws. Implicitly, we solved a problem rised first by Poincaré: find a suitable geometric structure that converts the trajectories of a given vector field into geodesics (see also [6] - [11]). Section 2 and Section 3 realize the passage from the Lagrangian dynamics to the covariant Hamilton equations.

研究动机与目标

• 提供一个几何框架，将常微分方程和偏微分方程的解通过一阶拉格朗日量转化为预测地线和势能映射。
• 解决庞加莱提出的一个经典问题：寻找一种几何结构，可将向量场轨迹转换为测地线。
• 将洛伦兹世界力定律推广至高阶系统，并将其扩展到喷层丛设置下，适用于常微分方程和偏微分方程。
• 在第一阶喷层丛上，利用多辛形式和特定哈密顿对象，建立偏微分方程的协变哈密顿形式化。
• 通过喷层丛上的半黎曼结构为基础的共同几何语言，统一微分方程与偏微分方程的动力学描述。

提出的方法

• 本文在第一阶喷层丛 $ J^1(T,M) $ 上构造了一个类萨斯奇度量 $ S_1 $，利用 $ T $ 上的基度量 $ h $ 和 $ M $ 上的度量 $ g $，使其成为一个半黎曼流形。
• 定义了一个洛伦兹-乌德里"形式，
• 本文在 $ J^1(T,M) $ 上引入一个特定哈密顿对象 $ X_H $，使得 $ X_H^eta \rfloor \tilde{\theta}_\beta = \tilde{\theta}_\beta $，其中 $ \tilde{\theta}_\beta $ 是相对的刘维尔1-形式。
• 通过施加条件 $ X_H^\beta \rfloor \tilde{\theta}_\beta = \tilde{\theta}_\beta $，推导出一个协变哈密顿PDE系统，得到涉及 $ u^{\beta i} $、$ \frac{\tilde{\theta} u^{\beta i}}{\tilde{\theta} t^\beta} $ 和曲率项的PDE系统。
• 通过引入非退化的相对2-形式 $ \tilde{\theta} = \tilde{\theta}_\beta \bigotimes dt^\beta $，推广了多辛结构，其中 $ \tilde{\theta}_\beta $ 由刘维尔1-形式导出，并通过附加项 $ \nabla_h X^k_\beta $ 和 $ \tilde{\theta} $ 进行修正。

实验结果

研究问题

• RQ1 一阶常微分方程的解能否通过喷层丛上的一阶拉格朗日量所导出的几何结构表征为预测地线？
• RQ2 洛伦兹-乌德里"形式，
• RQ3 能否将具有非恒定能量和力项的偏微分方程通过多辛结构在第一阶喷层丛上重新表述为协变哈密顿系统？
• RQ4 在 $ J^1(T,M) $ 上的类萨斯奇度量在统一描述常微分方程与偏微分方程解的几何结构中起什么作用？
• RQ5 在 $ J^1(T,M) $ 上引入特定哈密顿对象 $ X_H $ 如何实现一致协变哈密顿PDE系统的推导？

主要发现

• 在向量场 $ X^i $ 具有恒定能量且无临界点的条件下，一阶常微分方程 $ \frac{dx^i}{dt} = X^i(t,x) $ 的解在半黎曼流形 $ (J^1(T,M), S_1) $ 中被证明为预测地线。
• 洛伦兹-乌德里"形式，
• 通过哈密顿量 $ H = \frac{1}{2}h^{\beta\beta}g_{ij}x^i_\beta x^j_\beta - f $（其中 $ f $ 为势能），推导出偏微分方程 $ h^{\beta\beta}x^i_{\beta\beta} = g^{ih}h^{\beta\beta}g_{kj}(\nabla_h X^j_\beta)X^k_\beta $ 的协变哈密顿PDE系统。
• 该系统由非退化的多辛形式 $ \Omega = \Omega_\alpha \otimes dt^\alpha $ 控制，其中 $ \Omega_\alpha = (g_{ij}dx^i \wedge \delta x^j_\alpha + \omega_{ij\alpha}dx^i \wedge dx^j + g_{ij}(D_\gamma X^i_\alpha)dt^\gamma \wedge dx^j)\sqrt{|h|} $。
• 推导出的哈密顿PDE系统包含方程 $ u^{\alpha i} = h^{\alpha\beta}x^i_\beta $ 和 $ \frac{\delta u^{\alpha i}}{\delta t^\alpha} = g^{hi}h^{\alpha\beta}g_{jk}X^j_\beta(\nabla_h X^k_\alpha) + 2g^{hi}\omega_{jh\alpha}u^{\alpha j} + h^{\alpha\beta}D_\beta X^i_\alpha $，并包含对曲率项的一致性条件。
• 本文建立了偏微分方程解与一阶拉格朗日量极值之间的几何对应关系，从而解决了庞加莱长期提出的经典问题：如何几何地将向量场轨迹转换为测地线。