[论文解读] Nonclassical Lagrangian Dynamics and Potential Maps

Constantin Udrişte|ArXiv.org|Jul 10, 2000

Advanced Differential Geometry Research参考文献 9被引用 19

一句话总结

本文在半黎曼几何中引入了一种广义的洛伦兹-乌德里什世界力定律，表明任何一阶偏微分方程（PDE）系统均可通过半黎曼-拉格朗日结构生成此类定律。关键贡献在于证明这些PDE的解是调和或位势映射，并且洛伦兹-乌德里什定律等价于在第一阶喷丛 $J^1(T,M)$ 上具有多辛结构的协变哈密顿PDE系统。

ABSTRACT

Section 1 refines the theory of harmonic and potential maps. Section 2 defines a generalized Lorentz world-force law and shows that any PDEs system of order one generates such a law in suitable geometrical structure. In other words, the solutions of any PDEs system of order one are harmonic or potential maps, if we use semi-Riemann-Lagrange structures. Section 3 formulates open problems regarding the geometry of semi-Riemann manifolds $(J^1(T,M), S_1)$, $(J^2(T,M), S_2)$, and shows that the Lorentz-Udriste world-force law is equivalent to covariant Hamilton PDEs on $(J^1(T,M), S_1)$.

研究动机与目标

• 通过半黎曼-拉格朗日结构，将经典拉格朗日力学推广至非经典设定。
• 证明任何一阶PDE系统均可在适当的几何框架下解释为广义洛伦兹-乌德里什世界力定律。
• 建立洛伦兹-乌德里什世界力定律与第一阶喷丛 $J^1(T,M)$ 上协变哈密顿PDE系统的等价性。
• 提出关于 $J^1(T,M)$ 与 $J^2(T,M)$ 的几何结构，以及半黎曼结构 $S_1$ 与 $S_2$ 的开放问题。

提出的方法

• 利用半黎曼流形 $(T,h)$ 与 $(M,g)$ 定义映射 $\varphi: T \to M$ 的能量密度与拉格朗日量。
• 引入广义能量密度 $E(\varphi)$，其中包含一个特殊张量场 $X^i_\alpha$ 与一个标量函数 $c$，使得位势映射成为临界点。
• 通过涉及 $F_j{}^i_\alpha$、$U^i_{\alpha\beta}$ 与 $c$ 的二阶PDE系统定义洛伦兹-乌德里什世界力定律，其中 $\omega_{ji\alpha}$ 为反对称张量。
• 利用Liouville形式 $\theta$ 及其外微分，在 $J^1(T,M)$ 上构造一个特殊的多辛 $(p+2)$-形式 $\Omega = \Omega_\alpha \otimes dt^\alpha$。
• 从条件 $X_H \llcorner \Omega_\alpha = dH$ 推导出协变哈密顿PDE系统，其中 $H$ 为哈密顿可观测量。
• 通过在喷丛上导出的运动方程，建立洛伦兹-乌德里什定律与哈密顿PDE系统之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个一阶PDE系统均可在半黎曼几何设定下实现为广义洛伦兹世界力定律的解？
• RQ2 调和映射与位势映射如何与这类广义世界力定律的解相关联？
• RQ3 在 $J^1(T,M)$ 上何种精确的几何结构使得洛伦兹-乌德里什世界力定律等价于协变哈密顿PDE系统？
• RQ4 支持该等价性的 $J^1(T,M)$ 上的半黎曼结构 $S_1$ 与 $J^2(T,M)$ 上的半黎曼结构 $S_2$ 的内在几何性质是什么？
• RQ5 在何种条件下，$M$ 上的连续群作用可作为该框架下某拉格朗日量的极值？

主要发现

• 当配备半黎曼-拉格朗日结构时，任意一阶PDE系统 $x^i_\alpha = X^i_\alpha(t,x)$ 的解为调和或位势映射。
• 洛伦兹-乌德里什世界力定律 $\tau(\varphi)^i = g^{ij}\partial c/\partial x^j + h^{\alpha\beta}F_j{}^i_\alpha x^j_\beta + h^{\alpha\beta}U^i_{\alpha\beta}$ 等价于 $J^1(T,M)$ 上的协变哈密顿PDE系统。
• 哈密顿可观测量为 $H = \left(\frac{1}{2}h^{\alpha\beta}g_{ij}x^i_\alpha x^j_\beta - f\right)dv_h$，其中 $f$ 为与张量场 $X^i_\alpha$ 相关的修正项。
• 特殊的多辛形式 $\Omega_\alpha = (g_{ij}dx^i \wedge \delta x^j_\alpha + \omega_{ij\alpha}dx^i \wedge dx^j + g_{ij}(D_\beta X^i_\alpha)dt^\beta \wedge dx^j) \wedge dv_h$ 定义了哈密顿系统的几何基础。
• 导出的哈密顿PDE系统为 $u^{\alpha i} = h^{\alpha\beta}x^i_\beta$ 与 $\delta u^{\alpha i}/\partial t^\alpha = g^{hi}h^{\alpha\beta}g_{jk}X^j_\beta(\nabla_h X^k_\alpha) + 2g^{hi}\omega_{jh\alpha}u^{\alpha j} + h^{\alpha\beta}D_\beta X^i_\alpha$，模去被 $dv_h$ 消去的项。
• 在连续群作用的实例中，拉格朗日量 $L = \frac{1}{2}h^{\alpha\beta}g_{ij}(x^i_\alpha - \xi^i_\lambda A^\lambda_\alpha)(x^j_\beta - \xi^j_\mu A^\mu_\beta)\sqrt{|h|}$ 所产生的映射是该系统的极值（即位势映射）。