[论文解读] Some compactness criteria for weak solutions of time fractional PDEs

Li Lei, Jian‐Guo Liu|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 43被引用 5

一句话总结

该论文通过在巴拿赫空间中引入广义弱Caputo导数并利用Volterra积分形式推导时间正则性估计，建立了时间分数阶PDE弱解的紧致性准则。其主要贡献是提出了Aubin–Lions引理的分数阶类比，从而证明了在R²中时间分数阶可压缩Navier–Stokes方程与Keller–Segel方程弱解的存在性。

ABSTRACT

The Aubin-Lions lemma and its variants play crucial roles for the existence of weak solutions of nonlinear evolutionary PDEs. In this paper, we aim to develop some compactness criteria that are analogies of the Aubin--Lions lemma for the existence of weak solutions to time fractional PDEs. We first define the weak Caputo derivatives of order $γ\in (0,1)$ for functions valued in general Banach spaces, consistent with the traditional definition if the space is $\mathbb{R}^d$ and functions are absolutely continuous. Based on a Volterra type integral form, we establish some time regularity estimates of the functions provided that the weak Caputo derivatives are in certain spaces. The compactness criteria are then established using the time regularity estimates. The existence of weak solutions for a special case of time fractional compressible Navier-Stokes equations with constant density and time fractional Keller-Segel equations in $\mathbb{R}^2$ are then proved as model problems. This work provides a framework for studying weak solutions of nonlinear time fractional PDEs.

研究动机与目标

• 通过为弱解建立紧致性准则，将Aubin–Lions引理推广至时间分数阶PDE。
• 为取值于一般巴拿赫空间的函数定义阶数γ ∈ (0,1)的弱Caputo导数，使其在适用时与经典定义保持一致。
• 基于其弱Caputo导数属于Lp空间，建立函数的时间正则性估计。
• 将所推导的紧致性准则应用于证明两个模型问题（R²中时间分数阶可压缩Navier–Stokes方程与Keller–Segel方程）弱解的存在性。
• 提供一个使用泛函分析工具与分数阶微积分研究非线性时间分数阶PDE弱解的一般框架。

提出的方法

• 通过Volterra型积分公式定义弱Caputo导数，将经典Caputo导数推广至取值于巴拿赫空间的函数。
• 推导弱Caputo导数属于Lp空间的函数的时间平移估计，建立时间上的Hölder型正则性。
• 利用时间正则性估计在Bochner空间中构造强紧致性准则，其形式类似于Aubin–Lions引理。
• 将紧致性准则应用于时间分数阶可压缩Navier–Stokes方程的温和形式，其中使用Mittag-Leffler算子Eγ(−tγA)。
• 通过压缩映射原理在C([0,T]; Hα(R²))中证明时间分数阶Keller–Segel模型的温和解的存在性与唯一性。
• 利用H⁻¹(R²)与H¹(R²)中的能量估计与对偶论证，证明解的质量守恒与非负性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为时间分数阶PDE建立类似于Aubin–Lions引理的紧致性准则？
• RQ2 如何将Caputo导数推广至取值于任意巴拿赫空间的函数，同时保持与经典定义的一致性？
• RQ3 对于其弱Caputo导数属于Lp空间的函数，可推导出何种时间正则性估计？
• RQ4 所提出的紧致性框架能否应用于证明非线性时间分数阶PDE弱解的存在性？
• RQ5 时间分数阶Keller–Segel方程与Navier–Stokes方程解的正则性与结构性质（如非负性、质量守恒）为何？

主要发现

• 为取值于一般巴拿赫空间的函数引入了阶数γ ∈ (0,1)的新弱Caputo导数定义，扩展了经典定义。
• 建立了时间正则性估计：若弱Caputo导数属于Lp，则函数在时间上表现出指数为γ/2的Hölder型正则性。
• 在Bochner空间中证明了紧致性准则，其形式类似于Aubin–Lions引理，可实现时间与空间上收敛子列的提取。
• 通过C([0,T]; Hα(R²))中的压缩映射原理，证明了R²中时间分数阶可压缩Navier–Stokes方程存在温和解。
• 证明了R²中时间分数阶Keller–Segel方程的解是非负且质量守恒的，且在C⁰,γ([0,T]; Hα(R²)) ∩ C∞((0,∞); Hα(R²))中具有唯一性与正则性。
• 通过Fubini定理及基本解梯度积分为零的事实，证明了质量守恒，确保温和形式中第二项不改变总质量。