[论文解读] Some Hopf Algebras of Trees

P. van der Laan|ArXiv.org|Jun 28, 2001

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文通过引入基于具有自由 n 元运算的操作律的构造，推广了根树的 Connes-Kreimer Hopf 代数，从而为带色边和带标签顶点的树建立了通用的 Hopf 代数结构。它给出了余乘法和对偶李括号的显式公式，并表明特殊情形可恢复已知代数，如平面二叉树的 Loday-Ronco Hopf 代数和 Brouder-Frabetti 修剪代数。

ABSTRACT

This paper generalizes the operadic construction of the Connes-Kreimer Hopf algebra of rooted trees by Moerdijk. Examples of Hopf algebras obtained in this way include the Loday-Ronco Hopf algebra of planar binary trees and the Brouder-Frabetti pruning Hopf algebra. In some examples we obtain a natural pre-Lie or dendriform algebra structure on the dual Hopf algebra. v2: Proof in section 8 corrected. v3: more corrections.

研究动机与目标

• 将文献中研究的各种树 Hopf 代数统一于单一的操作律构造之下。
• 将 Connes-Kreimer Hopf 代数推广至带色边和带标签顶点的树。
• 在余代数 Hochschild 上同调中为所得 Hopf 代数建立一个普遍性质。
• 为对偶代数中的余乘法和李括号推导显式公式。
• 证明该构造的特殊情形可恢复已知 Hopf 代数，包括 Loday-Ronco 和 Brouder-Frabetti 代数。

提出的方法

• 通过向 Hopf 操作律 $\mathsf{P}$ 添加一个自由 $n$-元运算，构造 Hopf 代数 $\mathsf{P}[\lambda_n]$，推广了 Connes-Kreimer 的构造。
• 利用树上的可接受切割定义余乘法 $\Delta(t) = \sum_{c \in C(t)} P^c(t) \otimes R^c(t)$，其中 $C(t)$ 是可接受切割的集合。
• 应用 Moerdijk 的操作律技术，将构造扩展至带色边和带标签顶点的树。
• 通过接合操作定义结合积，并证明对分操作 $\prec$ 和 $\succ$ 保持分次性，这些操作满足分次恒等式。
• 通过归纳法证明余积的余结合性，表明其仅在一般构造中 $k=n$ 且 $l=1$ 时成立。
• 利用对偶性将结合积转移到对偶空间，从而得到一个余交换的 Hopf 代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在单一的操作律构造，可统一文献中研究的各种树 Hopf 代数？
• RQ2 广义 Hopf 代数 $\mathsf{P}[\lambda_n]$ 在余代数 Hochschild 上同调中满足何种普遍性质？
• RQ3 在何种条件下，$\mathsf{P}[\lambda_n]$ 中的余积保持余结合性？
• RQ4 结合积如何导出分次操作 $\prec$ 和 $\succ$，并保持分次性？
• RQ5 哪些已知的树 Hopf 代数可作为 $\mathsf{P}[\lambda_n]$ 构造的特殊情形被恢复？

主要发现

• 本文为 Hopf 代数 $\mathsf{P}[\lambda_n](0)$ 中的余乘法提供了显式、非归纳的公式，解决了先前工作中依赖归纳定义的问题。
• Hopf 代数 $\mathsf{P}[\lambda_n](0)$ 的对偶携带自然的李括号，且原始元素对偶于单棵根树。
• 当 $k=n$ 且 $l=1$ 时，该构造在增广理想上产生一个分次 Hopf 代数结构，满足分次恒等式。
• 当 $\mathsf{P} = \mathsf{P}_2$ 且 $q_{12} = q_{21} = 1$、$q_{11} = q_{22} = 0$ 时，平面二叉树的 Loday-Ronco Hopf 代数可作为特殊情形被恢复。
• Brouder-Frabetti 修剪 Hopf 代数也可作为 $\mathsf{P}[\lambda_n]$ 构造的特殊情形被恢复。
• 当 $k$ 和 $l$ 的选择不同于 $k=n$、$l=1$ 时，余积的余结合性会失效，原因在于乘积 $*$ 的非交换性。