[论文解读] Some Rational Vertex Algebras

Dražen Adamović|ArXiv.org|Feb 22, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用 38

一句话总结

本文对与辛仿射李代数 $C_\ell^{(1)}$ 相关的顶点算子代数 $L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$ 的不可约模进行了分类，证明了所有此类模均来自两个显式描述的可允许权集 $S_1^n$ 和 $S_2^n$。分类结果表明该顶点代数是有理的，其所有在范畴 $\mathcal{O}$ 中的模都是完全可约的，并建立了不可约模与特定多项式集 $\mathcal{P}_{0,\ell}$ 的零点之间的对应关系。

ABSTRACT

Let $L((n- frac 3 2)Λ_0)$, $n \in \Bbb N$, be a vertex operator algebra associated to the irreducible highest weight module $L((n- frac 3 2)Λ_0)$ for a symplectic affine Lie algebra. We find a complete set of irreducible modules for $L((n- frac 3 2)Λ_0)$ and show that every module for $L((n- frac 3 2)Λ_0)$ from the category $\Cal O$ is completely reducible.

研究动机与目标

• 对与辛仿射李代数 $C_\ell^{(1)}$ 相关的顶点算子代数 $L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$ 的所有不可约模进行分类。
• 刻画所有可允许最高权 $\lambda$ 的集合，使得 $L(\lambda)$ 是 $L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$ 上的模。
• 通过证明其仅有有限多个不可约模且范畴 $\mathcal{O}$ 中的所有模都是完全可约的，来证明顶点算子代数 $L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$ 是有理的。

提出的方法

• 基于 $C_\ell^{(1)}$ 的根系与根系对偶，定义两个可允许权集 $S_1^n$ 和 $S_2^n$，使用条件 $\Pi^\lambda = \Pi_i$（$i=1,2$）。
• 利用 Kac–Wakimoto 的可允许权理论，刻画韦尔马模的奇异向量及其不可约商模。
• 通过顶点代数作用的结构，建立不可约 $L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$-模与多项式集 $\mathcal{P}_{0,\ell}$ 的零点之间的对应关系。
• 通过归纳法证明集合 $S_1^n$ 和 $S_2^n$ 恰好是使得 $L(\lambda)$ 为模的权集，利用算子 $X_{\epsilon_j + \epsilon_{j+1}}(0)^2 - X_{2\epsilon_j}(0)X_{2\epsilon_{j+1}}(0)$ 的作用。
• 应用 Kac–Wakimoto 定理 2，推导出当所有不可约子商模均为可允许时，范畴 $\mathcal{O}$ 中模的完全可约性。
• 利用威莱代数的结构与正规排序，将李代数 $\overset\circ\to{\mathfrak g} = \mathfrak{sp}_{2\ell}(\mathbb{C})$ 实现为 $W(A)$ 的子代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $n \in \mathbb{N}$，哪些可允许权 $\lambda$ 会生成 $L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$-模的不可约模？
• RQ2 如何通过权集 $S_1^n$ 和 $S_2^n$ 完全分类 $L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$ 的不可约模？
• RQ3 是否存在 $L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$-不可约模与多项式集 $\mathcal{P}_{0,\ell}$ 的零点之间的一一对应关系？
• RQ4 顶点算子代数 $L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$ 是否满足有理性的条件，特别是范畴 $\mathcal{O}$ 中的完全可约性？
• RQ5 $S_1^n$ 和 $S_2^n$ 与顶点代数生成元在权空间上的作用有何关系？

主要发现

• 不可约 $L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$-模与多项式集 $\mathcal{P}_{0,\ell}$ 的零点之间存在一一对应关系，从而实现了完全分类。
• $S_1^n$ 和 $S_2^n$ 是使得 $L(\lambda)$ 成为 $L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$-模的唯一可允许权，且其特征由 $\langle \lambda, c \rangle = n - \frac{3}{2}$ 给出。
• 顶点算子代数 $L((n - \frac{3}{2})\Lambda_0)$ 是有理的，因为它仅有有限多个不可约模，且范畴 $\mathcal{O}$ 中的所有模都是完全可约的。
• 该分类通过归纳法证明，即 $\tilde{S}_i^n = S_i^n$（$i=1,2$），其中 $\tilde{S}_i^n$ 是由顶点代数生成元在权空间上的作用所定义的集合。
• 当 $n=1$ 时，集合 $S_1^1$ 和 $S_2^1$ 显式计算为 $\{-\frac{1}{2}\Lambda_0, -\frac{3}{2}\Lambda_0 + \Lambda_1\}$ 和 $\{-\frac{1}{2}\Lambda_\ell, -\frac{3}{2}\Lambda_\ell + \Lambda_{\ell-1}\}$。
• 模 $M(\lambda)$ 不可约当且仅当 $\lambda \in S_1^n \cup S_2^n$；否则 $M^1(\lambda) \subset M(\lambda)$ 是一个真子模，这由 $\overline{W}M(\lambda) = M^1(\lambda)$ 当且仅当 $\lambda \in S_1^n \cup S_2^n$ 所表明。