[论文解读] Some recent progress in singular stochastic PDEs

Ivan Corwin, Hao Shen|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 159被引用 10

一句话总结

本文综述了通过引入重整化技术和正规性结构理论，在求解奇异随机PDE方面取得的最新进展，特别是动力$φ^4$方程、KPZ方程和抛物型安德森模型。研究表明，通过显式矩计算和重整化幂，可以系统性地消除由时空白噪声引起的发散项，从而在H"older空间中实现非平凡极限的收敛。

ABSTRACT

Stochastic PDEs are ubiquitous in mathematical modeling. Yet, many such equations are too singular to admit classical treatment. In this article we review some recent progress in defining, approximating and studying the properties of a few examples of such equations. We focus mainly on the dynamical Phi4 equation, KPZ equation and Parabolic Anderson Model, as well as touch on a few other equations which arise mainly in physics.

研究动机与目标

• 解决由于时空白噪声导致经典方法失效时，奇异随机PDE解的定义这一基本挑战。
• 解释重整化如何消除涉及奇异噪声的非线性项所引起的发散。
• 展示KPZ和$φ^4$等方程作为微观模型的标度极限所表现出的普遍性。
• 在不依赖技术证明的前提下，提供对正规性结构和拟控分布等高级数学工具的直观理解。
• 将重整化与统计力学中的物理直觉及离散逼近方案相联系。

提出的方法

• 使用光滑化噪声$\xi_\varepsilon$对奇异SPDE进行正则化，并研究$\varepsilon \to 0$时的极限行为。
• 将解分解为$\Phi_\varepsilon = u_\varepsilon + v_\varepsilon$，其中$u_\varepsilon$满足线性化方程$\partial_t u_\varepsilon = \Delta u_\varepsilon + \xi_\varepsilon$。
• 应用高斯混沌和维尔克多项式计算$u_\varepsilon^2$和$u_\varepsilon^3$的矩，揭示对数发散现象。
• 引入重整化幂：$u^{[:2:]} = \lim_{\varepsilon \to 0} (u_\varepsilon^2 - C_\varepsilon)$和$u^{[:3:]} = \lim_{\varepsilon \to 0} (u_\varepsilon^3 - 3C_\varepsilon u_\varepsilon)$，其中$C_\varepsilon = \mathbb{E}[u_\varepsilon^2]$。
• 利用柯尔莫哥洛夫连续性定理，证明$u_\varepsilon^2 - C_\varepsilon$和$u_\varepsilon^3 - 3C_\varepsilon u_\varepsilon$在$\mathcal{C}^\alpha$空间中对任意$\alpha < 0$收敛。
• 提出重整化方程$\partial_t \Phi_\varepsilon = \Delta \Phi_\varepsilon - (\Phi_\varepsilon^3 - 3C_\varepsilon \Phi_\varepsilon) + \xi_\varepsilon$，其在$\varepsilon \to 0$时具有明确定义的极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 当噪声为时空白噪声且非线性项涉及分布乘积时，如何定义奇异SPDE的解？
• RQ2 在SPDE背景下，重整化常数$C_\varepsilon$的物理和数学意义是什么？
• RQ3 为何尽管$u_\varepsilon^2$发散，重整化幂$u^{[:2:]}$和$u^{[:3:]}$仍能收敛到非平凡极限？
• RQ4 $φ^4$和KPZ方程如何作为各种微观随机粒子系统的普遍标度极限出现？
• RQ5 如维尔克定理和高斯混沌等概率工具在分析奇异SPDE中起什么作用？

主要发现

• 在二维空间中，第二矩$\mathbb{E}[u_\varepsilon(t,x)^2]$随$\varepsilon \to 0$对数发散，其量级为$O(\log \varepsilon)$。
• 重整化第二矩$u^{[:2:]} = \lim_{\varepsilon \to 0} (u_\varepsilon^2 - C_\varepsilon)$在任意$\alpha < 0$下收敛于$\mathcal{C}^\alpha$中的非平凡分布。
• 重整化立方项$u^{[:3:]} = \lim_{\varepsilon \to 0} (u_\varepsilon^3 - 3C_\varepsilon u_\varepsilon)$在任意$\alpha < 0$下也收敛于$\mathcal{C}^\alpha$。
• 重整化$φ^4$方程$\partial_t \Phi_\varepsilon = \Delta \Phi_\varepsilon - (\Phi_\varepsilon^3 - 3C_\varepsilon \Phi_\varepsilon) + \xi_\varepsilon$在$\varepsilon \to 0$时具有适定的极限。
• 通过显式矩计算，可系统地发展奇异SPDE的解理论，基于正规性结构或拟控分布理论。
• KPZ和$φ^4$方程作为多种微观随机系统的普遍标度极限出现，表明其具有广泛的物理相关性。