[论文解读] Some remarks about the weak containment property for groupoids and semigroups

Claire Anantharaman-Delaroche|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 40被引用 15

一句话总结

本文研究了étale群胚和半群中的弱包含性质，表明对于逆半群及群的子半群，弱包含性质（全与约化C*-代数一致）严格弱于约化C*-代数的核性。文章提供了逆半群中(2) ⇒ (3)蕴含关系的反例，并在独立性或左平凡性假设下确立了弱包含蕴含核性的条件。

ABSTRACT

A locally compact groupoid is said to have the weak containment property if its full $C^*$-algebra coincides with its reduced one. This property is strictly weaker than amenability and is known to be equivalent to amenability for transformation groupoids relative to actions of exact discrete groups. We believe that for general étale groupoids one should have the same equivalence of the two properties under some mild exactness assumption. In this paper we try to support this statement.

研究动机与目标

• 研究在较弱的精确性假设下，弱包含性质是否蕴含étale群胚的平凡性。
• 澄清半群的三种平凡性概念之间的关系：左平凡性、弱包含性以及约化C*-代数的核性。
• 利用相关群胚分析逆半群和群的子半群的全与约化C*-代数。
• 提供反例，表明在逆半群中，弱包含性不蕴含核性。
• 确立弱包含性蕴含核性的充分条件，尤其在独立性或左平凡性假设下。

提出的方法

• 使用与逆半群S相关的典范群胚$\mathcal{G}_S$，将其C*-代数与S的C*-代数联系起来。
• 应用群胚C*-代数理论，特别是全与约化C*-代数，分析弱包含性与平凡性。
• 通过构造一个Clifford逆半群的反例，表明弱包含性不蕴含约化C*-代数的核性。
• 采用Xin Li对群G的子半群P的全C*-代数$C^*(P)$的定义，即通过左逆包$S(P)$定义为$C^*_0(S(P))$。
• 利用从$C^*_r(\mathcal{G}_{S(P)})$到$C^*_r(P)$的满同态$h$，将群胚与半群的约化C*-代数联系起来。
• 应用群胚平凡性与C*-代数核性的结果，特别利用了平凡群胚具有弱包含性的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 在精确性假设下，弱包含性质是否蕴含étale群胚的平凡性？
• RQ2 对于逆半群，弱包含性质是否与约化C*-代数的核性等价？
• RQ3 群G的子半群P的左平凡性是否蕴含$C^*_r(P)$的核性？
• RQ4 在独立性条件下，能否从$C^*_r(P)$的核性推出P的弱包含性质？
• RQ5 当G为精确群时，核性 ⇒ 弱包含蕴含关系的逆命题是否成立？

主要发现

• 通过一个具有非平凡成分的Clifford逆半群的反例，表明在逆半群中，弱包含性质不蕴含约化C*-代数的核性。
• 即使P不平凡，其半群P的左平凡性也蕴含$C^*_r(P)$的核性。
• 若$C^*_r(P)$为核性且P满足独立性条件，则P具有弱包含性质。
• 对于群G的子半群P，P的弱包含性质蕴含其关联逆半群$S(P)$的弱包含性质。
• Willett的非平凡群胚（重新解释为逆半群）的例子表明，一般情况下弱包含性不蕴含平凡性或核性。
• 本文仍留下一个开放问题：对于内精确的étale群胚，弱包含性是否蕴含平凡性，因为早期声称的证明被发现无法修复。