[論文レビュー] Spacetime codes of Clifford circuits

Nicolas Delfosse, Adam Paetznick|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 11

ひとこと要約

本論文は、結果コードとそれに関連する時空間安定化子コードを導入し、任意のClifford回路の障害を検出・修正します。多項式時間での構成法、LDPCデコーダへの接続、回路中心の障害訂正ワークフローを提供します。

ABSTRACT

We propose a scheme for detecting and correcting faults in any Clifford circuit. The scheme is based on the observation that the set of all possible outcome bit-strings of a Clifford circuit is a linear code, which we call the outcome code. From the outcome code we construct a corresponding stabilizer code, the spacetime code. Our construction extends the circuit-to-code construction of Bacon, Flammia, Harrow and Shi [2], revisited recently by Gottesman [16], to include intermediate and multi-qubit measurements. With this correspondence, we reduce the problem of correcting faults in a circuit to the well-studied problem of correcting errors in a stabilizer code. More precisely, a most likely error decoder for the spacetime code can be transformed into a most likely fault decoder for the circuit. We give efficient algorithms to construct the outcome and spacetime codes. We also identify conditions under which these codes are LDPC, and give an algorithm to generate low-weight checks, which can then be combined with effcient LDPC code decoders.

研究の動機と目的

• ノイズある量子ハードウェアにおけるClifford回路の耐障害性を動機付ける。
• Clifford回路のすべての可能な測定結果の集合が線形コード（結果コード）を形作ることを示す。
• 結果コードから安定化子コード（時空間コード）を構築し、安定化子デコーディングによる障害デコーディングを可能にする。
• 結果チェックと時空間コード生成子を計算する効率的なアルゴリズムを提供する。
• 時空間コードの最も可能性の高い誤りデコーダが回路の最も可能性の高い障害デコーダを産出することを示す。
• 時空間コードがLDPCになる条件を探り、低重みのチェックを生成するスパース化技術を開発する。

提案手法

• Clifford回路から得られる可能な結果ビット列の線形コードとして結果コードを定義する（Theorem 1、Corollary 2）。
• 結果コードの完全なチェック集合を計算するAlgorithm 1を開発する。
• 回路を通じた結果チェックを後方累積して時空間コードを構築する（Theorem 2）。
• 時空間コードの最も可能性の高い誤りデコーダを、最も可能性の高い障害構成を出力する回路デコーダに変換する方法を示す（Theorem 3）。
• 時空間コードの低重み安定化子生成子を生成するAlgorithm 3を導入し、LDPCデコーディングを可能にする。
• 逆伝搬/順伝搬（累積量/バック累積）形式論を説明し、それらの随伴関係を証明する（Proposition 3）。
• 得られた時空間コードに対して任意のLDPCデコーダ（例：Union-Find、Renormalization Group、Belief Propagation）を使用するための枠組みを提供する。

Figure 1: Construction of codes from a Clifford circuit. Given a Clifford circuit as input, a modified stabilizer simulation, Algorithm 1 , produces the outcome code. The corresponding spacetime code can then be constructed by accumulating measurement observables from the outcome code backward throu

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Clifford回路のすべての可能な結果ビット列の集合は線形コード（outcome code）として特徴づけられるか？
• RQ2 既知のClifford回路から安定化子時空間コードを体系的に構築するには？
• RQ3 時空間コードのデコーダを実用的な回路障害デコーダに変換するには？
• RQ4 時空間コードをLDPC化できる条件は何か、効率的なデコーディングのために低重み安定化子をどう生成するか？
• RQ5 回路中心の自動化された方法で、回路のみを入力としてClifford回路の障害を訂正する方法はあるか？

主な発見

• The outcome string set of any Clifford circuit forms a linear code (the outcome code).
• A stabilizer spacetime code can be constructed from the outcome code, allowing fault correction to be cast as stabilizer decoding.
• A most likely fault decoder for the spacetime code yields a most likely circuit fault decoder (Theorem 3).
• Algorithms exist to construct outcome checks (Algorithm 1) and low-weight spacetime-code generators (Algorithm 3) in polynomial time.
• The spacetime code can be LDPC under certain conditions, enabling efficient LDPC decoders for fault correction.
• The framework applies to a broad class of Clifford circuits, including those with intermediate and multi-qubit measurements, and can be integrated with various LDPC decoding strategies.

Figure 2: A depth-three circuit with Pauli measurements and unitary Clifford gates. Pauli faults are supported on the white circles. We show a fault operator in (a) and its back-cumulant in (b) obtained by propagation of faults backward. In this circuit, the third measurement is redundant and the th