[论文解读] Sparse long blocks and the variance of the longest common subsequences in random words

Saba Amsalu, Christian Houdré+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2012

Random Matrices and Applications参考文献 19被引用 8

一句话总结

本文研究了在具有稀疏长块或非典型子串的随机字符串中，最长公共子序列（LCS）的方差，证明在均值LCS曲线导数的弱条件下，其方差随字符串长度呈线性增长。该研究解决了长期存在的开放性问题，表明在计算生物学中常用的现实模型下，LCS方差为线性，扩展了以往仅限于低熵情况的结果。

ABSTRACT

Consider two independent random strings having same length and taking values uniformly in a common finite alphabet. We study the order of the variance of the length of the longest common subsequences (LCS) of these strings when long blocks, or other types of atypical substrings, are sparsely added into one of them. Under weak conditions on the derivative of the mean LCS-curve, the order of the variance of the LCS is shown to be linear in the length of the strings. We also argue that our proofs carry over to many models used by computational biologists to simulate DNA-sequences. This is the first result where the open question of the order of the fluctuation of the LCS of random strings is solved for a realistic model. Until now, this type of result had only been established for low entropy cases.

研究动机与目标

• 确定在具有稀疏长块或非典型子串的随机字符串中，LCS长度方差的渐近阶。
• 解决LCS在现实概率模型中波动阶的开放性问题，特别是计算生物学中使用的模型。
• 通过证明在均值LCS曲线导数的弱条件下，方差仍保持线性，将先前仅限于低熵情况的结果加以拓展。
• 建立证明适用于模拟DNA序列的模型，从而增强其在生物序列分析中的相关性。

提出的方法

• 使用次可加性论证，确立单位长度LCS极限均值的存在性，记为γ*ₖ。
• 分析在单个字符串中添加稀疏长块或非典型子串的扰动下，LCS长度的变化。
• 应用集中不等式，限制LCS得分的最大偏差，表明由添加子串引起的LCS波动可被随机控制。
• 采用偏差分解技术，比较对齐与扰动字符串对之间的LCS长度，分离出由添加子串引起的期望增量。
• 利用已知的γₖ(n,p)向γₖ(p)收敛速率，结合Alexander（1994, 1998）提供的O(ln n / √n)误差界，控制近似误差。
• 利用LCS增长函数γₖ(p)的凹性与对称性，推导出添加子串时期望LCS增量的下界，确保方差呈线性增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 当在随机字符串中引入稀疏长块或非典型子串时，LCS长度的方差渐近阶为何？
• RQ2 在低熵情况下观察到的线性方差是否可推广至更现实的模型，如计算生物学中用于DNA序列的模型？
• RQ3 在均值LCS曲线导数的弱条件下，能否证明LCS方差呈线性增长？
• RQ4 诸如长块等扰动如何影响期望LCS长度？其影响能否被量化以推断方差行为？
• RQ5 针对扰动字符串中方差缩放的证明，在模拟生物序列的模型中有多大程度上可适用？

主要发现

• 在均值LCS曲线导数的弱条件下，LCS长度的方差与字符串长度n呈线性关系，即Var(LCₙ) = Θ(n)。
• 该结果解决了在现实模型中随机字符串LCS波动阶的开放性问题，突破了以往仅限于低熵情况的已知结果。
• 证明具有足够的鲁棒性，可推广至计算生物学家用于模拟DNA序列的模型，显著提升了论文的生物学相关性。
• 添加长度为r的子串所导致的LCS长度期望增量，其下界为r(γₖ(pᵢ)/2 − |γ′(pᵢᵢ−)|/2) + O(√(s+t) ln(s+t))，确保了线性偏差。
• 测度集中论证表明，由随机波动引起的LCS得分最大偏差为O(√d ln d)，其为次线性，不影响整体线性方差缩放。
• 关键技术贡献在于推导出期望LCS增量的下界，确保即使在稀疏添加长块的情况下，方差仍能保持线性增长。