[论文解读] Special generic maps and fold maps and information on triple Massey products of higher dimensional differentiable manifolds

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的方法，通过折曲映射（fold maps）和特殊通用映射（special generic maps）来检测高维单连通流形上同调中的非零三重Massey积。通过构造显式的折曲映射，作者证明了非平凡三重Massey积的存在会阻碍低维欧几里得空间中特殊通用映射的存在，从而为微分结构提供了几何障碍。

ABSTRACT

Closed (and simply-connected) manifolds whose dimensions are larger than 4 are central geometric objects in classical algebraic topology and differential topology. They have been classified via algebraic and abstract objects. On the other hand, It is difficult to understand them in geometric and constructive ways. In the present paper, we show such studies via explicit fold maps, higher dimensional versions of Morse functions. The author captured information of the topologies and the differentiable structures of closed (and simply-connected) manifolds which are not so complicated with respect to homotopy previously and cohomology rings of more general closed (and simply-connected) manifolds via construction of these maps. In the present paper, as a more precise work, we capture so-called (triple) Massey products in this way.

研究动机与目标

• 开发一种几何且可构造的方法，以研究高维单连通流形的拓扑结构与微分结构。
• 探究折曲映射与特殊通用映射如何揭示诸如三重Massey积等上同调不变量的信息。
• 利用非平凡三重Massey积建立特殊通用映射存在的几何障碍。
• 提供具有同构上同调环但微分结构不同的流形的显式构造。

提出的方法

• 作者使用折曲映射——高维Morse函数的类比——作为几何工具，探测维数大于4的闭单连通流形的拓扑结构。
• 特殊通用映射（具有0指标奇点的折曲映射子类）被用于约束流形的微分结构。
• 通过对多面体正则邻域导出的流形构造显式折曲映射，可计算其上同调环与Massey积。
• 该方法依赖Poincaré对偶性与上同调中的正合列，以计算边界流形的同调与上同调群。
• 作者将多面体 $X_{5,0}$ 嵌入 $\mathbb{R}^8$，取其正则邻域 $N(X_{5,0})$，并研究其边界 $\partial N(X_{5,0})$ 作为7维流形。
• 通过分析 $\partial N(X_{5,0})$ 的上同调，作者识别出非平凡三重Massey积，并利用其阻碍特殊通用映射的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 折曲映射能否用于检测高维流形上同调中非平凡的三重Massey积？
• RQ2 非零三重Massey积对特殊通用映射存在的几何障碍是什么？
• RQ3 在同调同构但微分结构不同的流形之间，上同调环与Massey积在多大程度上能够加以区分？
• RQ4 折曲映射与特殊通用映射如何与高维单连通流形的分类相关联？

主要发现

• 对于任意主理想整环 $A$，若7维闭单连通流形 $M$ 的2阶上同调类中存在非零三重Massey积，则其不能映射到 $\mathbb{R}^n$（$n=1,2,3,4,5$）为特殊通用映射。
• 边界流形 $\partial N(X_{5,0})$ 的上同调环同构于四个 $S^2 \times S^5$ 的连通和，但其存在非平凡三重Massey积。
• 存在一对7维单连通流形 $M_1$ 与 $M_2$，其上同调环与同调群同构，其中 $M_1$ 可映射到 $\mathbb{R}^n$（$n=4,5$）为特殊通用映射，而 $M_2$ 不能。
• 流形 $M_2 = \partial N(X_{5,0}) \# M_1'$ 可映射到 $\mathbb{R}^n$（$n=4,5$）为折曲映射，表明折曲映射的限制弱于特殊通用映射。
• 构造 $\partial N(X_{5,0})$ 得到一个具有显式可计算同调与上同调群的流形，包括 $H^2(\partial N(X_{5,0});A) \cong A^4$ 与 $H^3(\partial N(X_{5,0});A) \cong 0$，确认其拓扑复杂性。
• 结果表明，三重Massey积作为不变量，比仅靠上同调环更精细，可用于区分高维流形上的微分结构。