[论文解读] Spectra of stationary processes on Z

Alexander Borichev, Mikhail Sodin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用 6

一句话总结

该论文证明了在 ℤ 上取有限值的平稳过程若具有谱间隙（即谱不等于整个单位圆），则必为周期性的，且其谱支持于单位根上。该结果通过两种方法证明：一种是将实现的 Beurling 谱与过程的谱测度联系起来；另一种是使用 L²(ρ) 中的多项式逼近，将结果推广至模为 1 的过程，并表明若谱位于长度小于 π 的弧上，则过程几乎必然为随机相位因子下的确定性过程。

ABSTRACT

We will discuss a somewhat striking spectral property of finitely valued stationary processes on Z that says that if the spectral measure of the process has a gap then the process is periodic. We will give some extensions of this result and raise several related questions.

研究动机与目标

• 刻画 ℤ 上取有限值的平稳过程的谱测度。
• 研究此类过程中谱间隙的含义。
• 将结果推广至 ℤ 上谱弧较小的模为 1 的平稳过程。
• 探讨平稳过程的谱结构与周期性或确定性之间的联系。

提出的方法

• 利用单个实现的 Beurling 谱，并将其与过程的谱测度联系起来。
• 应用调和分析与 Szegő 型定理，证明具有谱间隙的有限值遍历过程是周期性的。
• 在 L²(ρ) 中使用多项式逼近，以弱化谱间隙条件。
• 应用 Eremenko-Ostrovskii 定理，研究具有模为 1 系数的幂级数的解析延拓。
• 分析实现的傅里叶-Carleman 变换，推导出其在小弧外解析的性质。
• 证明：若谱支持于长度小于 π 的弧上，则过程几乎必然具有形式 ξ(n) = t·sⁿ。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，ℤ 上取有限值的平稳过程具有非满谱，这对其结构有何含义？
• RQ2 是否可在保持有限值过程周期性的前提下，弱化谱间隙条件？
• RQ3 长度小于 π 的小谱弧对 ℤ 上模为 1 的平稳过程施加了何种约束？
• RQ4 在有限值遍历过程中，实现的 Beurling 谱与过程的谱测度之间有何关系？
• RQ5 在已知例子之外，有限值或模为 1 的过程的谱测度在多大程度上可被刻画？

主要发现

• 若 ℤ 上取有限值的平稳过程的谱测度存在间隙（即谱不等于整个单位圆），则该过程是周期性的。
• 此类周期性过程的谱包含于 N 次单位根中，其中 N 为周期。
• 对于遍历的有限值过程，几乎所有实现的 Beurling 谱与谱测度的支撑集一致。
• 给出了周期的显式上界，其表达式与取值集合及谱间隙大小相关。
• 若模为 1 的平稳过程的谱包含于长度小于 π 的弧中，则几乎所有实现的形式为 ξ(n) = t·sⁿ，其中 t, s ∈ ℂ 且 |s| = |t| = 1。
• 在遍历情形下，s 为常数，t 在单位圆上均匀分布（若 s 为无理数），或在有限循环群上均匀分布（若 s 为有理数）。