[论文解读] Spectral action in Betti Geometric Langlands

David Nadler, Zhiwei Yun|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 6

一句话总结

本论文通过证明在 $G$-主丛模空间上具有幂零奇点支集的层通过 $G^\vee$-局部系统 Betti 模空间上的完美复形实现谱作用，确立了 Betti 几何 Langlands 对应中 '自守到伽罗瓦' 的方向。该工作构造了 Hecke 特征层的 Betti Langlands 参数，并定义了 Lafforgue 幽默算子的 Betti 版本。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth projective curve, $G$ a reductive group, and $Bun_G(X)$ the moduli of $G$-bundles on $X$. For each point of $X$, the Satake category acts by Hecke modifications on sheaves on $Bun_G(X)$. We show that, for sheaves with nilpotent singular support, the action is locally constant with respect to the point of $X$. This equips sheaves with nilpotent singular support with a module structure over perfect complexes on the Betti moduli $Loc_{G^\vee}(X)$ of dual group local systems. In particular, we establish the "automorphic to Galois" direction in the Betti Geometric Langlands correspondence -- to each indecomposable automorphic sheaf, we attach a dual group local system -- and define the Betti version of V. Lafforgue's excursion operators.

研究动机与目标

• 通过在具有幂零奇点支集的层上构造谱作用，确立 Betti 几何 Langlands 对应中 '自守到伽罗瓦' 的方向。
• 在 $G$-主丛模空间上的层的语境下，定义 V. Lafforgue 幽默算子的 Betti 版本。
• 为每个具有幂零奇点支集的不可约自守层分配一个对偶群局部系统，将其解释为该层的 Betti Langlands 参数。
• 证明此类层上的 Hecke 作用关于曲线上的点是局部常数的，从而确保谱作用的相容性。
• 证明 Hecke 特征层的 Betti Langlands 参数同构于其特征值局部系统的半单化。

提出的方法

• 使用微局部几何分析 $\mathrm{Bun}_G(X)$ 上层的奇点支集，聚焦于全局幂零锥 $\mathcal{N}_G(X)$。
• 通过在 $X$ 的点上进行 Hecke 变换构造 Satake 类别，证明该作用保持具有幂零奇点支集的层的子范畴。
• 应用统一化和局部坐标，将全局 Hecke 作用约化为仿射 Grassmannian 和环路群上的局部构造。
• 通过单值同构 $\mathrm{Loc}_{G^\vee}(X) \simeq \mathrm{Hom}(\pi_1(X,x_0), G^\vee)/G^\vee$ 定义谱作用，将自守层与 $G^\vee$-局部系统联系起来。
• 通过从 $\mathcal{F}$ 的普遍形变环的最大理想出发的映射 $L^{cr,-1}$，构造 Betti Langlands 参数 $\rho_{\mathcal{F}}$。
• 通过 Hecke 函子的复合与局部系统的取值定义 Betti 幽默算子，证明其作用由特征表示决定的标量实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 关于曲线上的点，具有幂零奇点支集的层上的 Hecke 作用行为如何？
• RQ2 能否在具有幂零奇点支集的自守层范畴上构造 $\mathrm{QCoh}(\mathrm{Loc}_{G^\vee}(X)_E)$ 的谱作用？
• RQ3 Hecke 特征层相关的 Betti Langlands 参数是什么？它与特征值局部系统有何关系？
• RQ4 Betti 幽默算子与几何 Langlands 设置中经典 Lafforgue 构造有何关联？
• RQ5 Hecke 特征层的 Betti Langlands 参数是否同构于其特征值局部系统的半单化？

主要发现

• 具有幂零奇点支集的层上的 Hecke 作用关于曲线上的点是局部常数的，确保其与全局谱结构相容。
• $\mathrm{Bun}_G(X)$ 上具有幂零奇点支集的层在 Betti 模空间 $\mathrm{Loc}_{G^\vee}(X)_E$ 上的完美复形上具有自然的模结构。
• 层 $\mathcal{F}$ 的 Betti Langlands 参数 $\rho_{\mathcal{F}}$ 通过 $\mathcal{F}$ 的普遍形变环定义，映射至 $\mathrm{Max}(R^{\mathrm{univ}})$。
• 对于具有特征值 $\rho$ 的 Hecke 特征层 $\mathcal{F}$，其 Betti Langlands 参数 $\rho_{\mathcal{F}}$ 同构于 $\rho$ 的半单化 $\rho^{ss}$。
• Betti 幽默算子在 $\mathcal{F}$ 上的作用由标量 $f(\rho_{\mathcal{F}}(\gamma_1), \dots, \rho_{\mathcal{F}}(\gamma_n))$ 实现，与 $f$ 在 $\rho$ 的半单化上的取值一致。
• 该构造实现了 Betti 几何 Langlands 对应中 '自守到伽罗瓦' 方向的几何实现，完成了通向完整猜想的关键一步。