[论文解读] Perverse sheaves on a Loop group and Langlands' duality

Victor Ginzburg|ArXiv.org|Nov 13, 1995

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用 232

一句话总结

本文通过仿射格拉斯曼流形上的平展层与朗兰兹对偶群表示，建立了 $G(\overline{F}[[z]])$-等变平展层范畴与 $G^\lor$ 的有限维有理表示范畴之间的几何朗兰兹对偶等价。利用函数-平展层对应与等变上同调，构造了一个张量等价，诱导了格罗滕迪克群上的同构，通过无限维流形上的平展层几何化实现了 Satake 同构。

ABSTRACT

An intrinsic construction of the tensor category of finite dimensional representations of the Langlands dual group of G in terms of a tensor category of perverse sheaves on the loop group, LG, is given. The construction is applied to the study of the topology of the affine Grassmannian of G and to establishing a Langlands type correspondence for "automorphic" sheaves on the moduli space of G-bundles.

研究动机与目标

• 通过仿射格拉斯曼流形上的平展层，为 Satake 同构提供几何解释。
• 在仿射格拉斯曼流形 $\mathrm{Gr}$ 上，建立 $G(\overline{F}[[z]])$-等变平展层范畴与朗兰兹对偶群 $G^\lor$ 的有限维有理表示范畴之间的张量等价。
• 通过函数-平展层对应，将 $G(\mathbb{Z}_p)\backslash G(\mathbb{Q}_p)/G(\mathbb{Z}_p)$ 的 Hecke 代数实现为平展层在 $\mathrm{Gr}$ 上的格罗滕迪克群。
• 通过将 $p$-进域替换为复形式幂级数，将经典 Satake 同构推广到几何设定，从而可应用代数几何与平展层理论。

提出的方法

• 将仿射格拉斯曼流形 $\mathrm{Gr} = G(\overline{F}((z)))/G(\overline{F}[[z]])$ 引入为具有 $G(\overline{F}[[z]])$-作用的复代数簇。
• 定义 $\mathrm{Gr}$ 上 $G(\overline{F}[[z]])$-等变平展层的范畴 $P(\mathrm{Gr})$，并赋予卷积张量积结构。
• 应用函数-平展层对应，为每个平展层 $\mathcal{F} \in P(\mathrm{Gr})$ 赋予一个函数 $\chi_{\mathcal{F}}$，其定义在 $G(\mathbb{F}((z)))/G(\mathbb{F}[[z]])$ 上，诱导同构 $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Z}} K(P(\mathrm{Gr})) \simeq \mathbb{C}[G(\mathbb{F}[[z]])\backslash G(\mathbb{F}((z)))/G(\mathbb{F}[[z]])]$。
• 利用 Satake 同构及其通过朗兰兹对偶群 $G^\lor$ 的重解释，识别 $\mathbb{C}[X^*(T^\lor)]^W \simeq \mathbb{C}[G^\lor]^{G^\lor}$，即 $G^\lor$ 上多项式类函数的代数。
• 建立平展层 $\mathcal{P}(V)$ 的上同调与对应表示 $V \in \mathrm{Rep}_{G^\lor}$ 的底层向量空间之间的典范同构。
• 应用等变上同调技术，包括局部化定理与 K\

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过仿射格拉斯曼流形上的平展层，几何化 $G(\mathbb{Z}_p)\backslash G(\mathbb{Q}_p)/G(\mathbb{Z}_p)$ 的 Hecke 代数与余权格拉斯曼的 $W$-不变部分群代数之间的 Satake 同构？
• RQ2 在环路群及其平展层的背景下，几何朗兰兹对偶背后的精确范畴等价是什么？
• RQ3 在无限维流形 $\mathrm{Gr}$ 上，函数-平展层对应如何恢复朗兰兹对偶群 $G^\lor$ 上的类函数？
• RQ4 能否从 $\mathrm{Gr}$ 上平展层的等变上同调重构 $G^\lor$ 的表示理论？若能，其机制如何？
• RQ5 等变导出范畴与局部化定理在将平展层的上同调与 $G^\lor$ 的表示理论联系起来的过程中起什么作用？

主要发现

• 存在范畴的张量等价 $P(\mathrm{Gr}) \simeq \mathrm{Rep}_{G^\lor}$，其在格罗滕迪克群上诱导同构 $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Z}} K(P(\mathrm{Gr})) \simeq \mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Z}} K(\mathrm{Rep}_{G^\lor})$。
• 表示 $V \in \mathrm{Rep}_{G^\lor}$ 的底层向量空间与对应平展层 $\mathcal{P}(V) \in P(\mathrm{Gr})$ 的上同调之间存在典范同构，从而实现了表示空间的几何实现。
• 函数-平展层对应为每个平展层 $\mathcal{F} \in P(\mathrm{Gr})$ 赋予一个 $G(\mathbb{F}[[z]])$-不变函数，其定义在 $G(\mathbb{F}((z)))/G(\mathbb{F}[[z]])$ 上，且该对应诱导了与 $G^\lor$ 上类函数代数的同构。
• 对于 $T$-等变平展层 $M$ 在 $T$-流形 $Y$ 上，其等变上同调 $H^\bullet_T(M)$ 是 $H^\bullet(BT)$ 上的自由模，且在李代数的正则点 $t \in \mathfrak{t}$ 处的特殊化给出 $\mathrm{gr}^W H_t(M) \cong H^\bullet(M)$，即 $M$ 的普通上同调。
• 局部化定理将等变上同调 $H_t(Y,M)$ 与固定点子流形 $Y^T$ 的上同调联系起来，通过从 $Y^T$ 到 $Y$ 的上推 $i_!$ 实现，前提是 $t$ 为正则点。
• 等变上同调满足 K\