[论文解读] Stable processes conditioned to avoid an interval

Leif Doering, Andreas E. Kyprianou+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2018

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文通过利用从首 hitting 时间尾部渐近性导出的调和函数，构造 Doob $h$-变换，建立了条件避开固定区间的稳定 Lévy 过程的存在性。对于所有 $\alpha \in (0,2)$，证明了条件过程是瞬时的，并且唯一地表征为在击中区间后被杀死的稳定过程的时间改变版本的 $h$-变换。

ABSTRACT

Conditioning Markov processes to avoid a domain is a classical problem that has been studied in many settings. Ingredients for standard arguments involve the leading order tail asymptotics of the distribution of the first hitting time of the domain of interest and its relation to an underlying harmonic function. In the present article we condition stable processes to avoid intervals. The required tail asymptotics in the stable setting for $α\geq 1$ go back to classical work of Blumenthal et al. and Port from the 1960s. For $α<1$, we appeal to recent results centred around the so-called deep factorisation of the stable process to compute hitting probabilities and, moreover, to identify the associated harmonic functions for all $α\in (0,2)$. With these in hand, we thus prove that conditioning to avoid an interval is possible in the classical sense and that the resulting process is a Doob $h$-transform of the stable process killed on entering the aforesaid interval. Appealing to the representation of the conditioned process as a Doob $h$-transform, we verify that the conditioned process is transient.

研究动机与目标

• 严格定义并构造条件避开固定区间的稳定 Lévy 过程，将经典的条件化方法从布朗运动推广至更一般情形。
• 识别出用于条件化的合适调和函数 $h(x)$，特别是在标准调和函数理论失效的 $\alpha < 1$ 困难情形下。
• 证明所得条件过程是瞬时的，扩展了关于 Lévy 过程路径条件化的已知结果。
• 统一处理整个指数范围 $\alpha \in (0,2)$ 下的稳定过程，包括稳定过程与柯西过程。
• 在稳定设定下，利用深层分解与潜在论工具，建立区间避开情形下 Doob $h$-变换构造的有效性。

提出的方法

• 使用 Doob $h$-变换，将条件过程构造为在击中区间 $[-1,1]$ 后被杀死的稳定过程的时间改变版本。
• 对于 $\alpha \geq 1$，依赖 Blumenthal 与 Port（1960 年代）的经典首 hitting 时间尾部渐近性结果。
• 对于 $\alpha < 1$，应用稳定过程深层分解的最新结果，以计算 hitting 概率并识别调和函数 $h(x)$。
• 采用涉及被杀死的潜在测度 $U_{[-1,1]}(x, \cdot)$ 的潜在论论证，以验证可积性与瞬时性。
• 通过验证在 $[-1,1]$ 外有界集合中具有有限期望寿命，应用 Getoor 的瞬时性准则，结合 $h(y)/h(x)$ 的界与 $u^{[-1,1]}(x,y)$ 的可积性。
• 利用 Profeta 与 Simon（2014）给出的潜在密度 $u^{[-1,1]}(x,y)$ 的显式公式，验证 $U_{[-1,1]}(x,[-d,d])$ 在 $|x|>1$，$d>1$ 时的有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 稳定 Lévy 过程能否以经典意义下类似条件化布朗运动保持正性的方式，有意义地条件化为避开固定区间？
• RQ2 对于条件化为避开区间的稳定过程，正确的调和函数 $h(x)$ 是什么，特别是在 $\alpha < 1$ 时标准调和函数理论失效的情形下？
• RQ3 所得条件过程是否为瞬时的？能否使用潜在论工具加以证明？
• RQ4 与扩散过程相比，稳定过程的路径不连续性如何影响条件过程的构造与性质？
• RQ5 能否利用稳定过程的深层分解来计算 $\alpha < 1$ 范围内的 hitting 概率与调和函数？

主要发现

• 对于所有 $\alpha \in (0,2)$，条件过程存在且唯一地表征为在击中区间 $[-1,1]$ 后被杀死的稳定过程的 Doob $h$-变换。
• 对于 $\alpha \in (0,1)$，调和函数 $h(x)$ 通过稳定过程的深层分解构造，使得即使在缺乏通用正调和函数的情形下，仍可实现条件化。
• 潜在测度 $U_{[-1,1]}(x,[-d,d])$ 对所有 $|x|>1$ 与 $d>1$ 均为有限，这对证明瞬时性至关重要。
• 条件过程是瞬时的，通过验证 Getoor 准则，即 $\mathbb{E}^{\updownarrow,x}\left[\int_0^\infty \mathbf{1}_{\{X_t \in [-d,d]\}} dt\right] < \infty$。
• 首 hitting 时间 $T_{[-1,1]}$ 的尾部渐近性被证明在 $s \to \infty$ 时为 $s^{1-1/\alpha}$ 阶，这构成了调和函数构造的基础。
• 调和函数 $h(x)$ 被证明在 $x \to \infty$ 时渐近等价于 $x^{\alpha\rho - 1}$，且在 $x \to -\infty$ 时具有类似行为，从而确保 $h$-变换的定义良好。