[论文解读] Stable processes, self-similarity and the unit ball

Andreas E. Kyprianou|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 42被引用 6

一句话总结

本文将各向同性 Lévy 稳定过程的经典波动恒等式与现代自相似马尔可夫过程理论统一起来，通过路径分解和 Lamperti–Kiu 变换，推导出在 ℝᵈ 中单位球上的新结果与已知结果。它建立了 Riesz 位势理论与自相似性之间的深刻联系，为单位球面和单位球上的首次退出与首次 hitting 分布提供了新的概率洞察。

ABSTRACT

Around the 1960s a celebrated collection of papers emerged offering a number of explicit identities for the class of isotropic stable processes in one and higher dimensions; these include, for example, the lauded works of Blumenthal, Getoor, Ray, Port and Rogozin. Amongst other things, these results nicely exemplify the use of standard Riesz potential theory on the unit open ball $\mathbb{B}_d :=\{ x\in \mathbb{R}^d :|x|<1\}$, $\mathbb{R}^d\backslash\mathbb{B}_d$ and $\mathbb{S}_d :=\partial \mathbb{B}_d$ with the, then, modern theory of potential analysis for Markov processes. Following initial observations of Lamperti in 1972, with the occasional sporadic work of Kiu, Vuolle-Apiala and Graversen in the 1980s, an alternative understanding of stable processes through the theory of self-similar Markov processes has prevailed in the last decade or more. This point of view offers deeper probabilistic insights into some of the aforementioned potential analytical relations. In this review article, we will rediscover many of the aforementioned classical identities in relation to the unit ball and recent extensions thereof by combining elements of these two theories, which have otherwise been largely separated by decades in the literature. We present a dialogue that appeals as much as possible to path decompositions. Most notable in this respect is the Lamperti-Kiu decomposition of self-similar Markov processes and the Riesz-Bogdan-Żak transformation. Some of the proofs we give are known, some are known proofs mixed with new methods and some proofs are completely new. We assume that the reader has a degree of familiarity with the bare basics of Lévy processes but nonetheless, we often include reminders of standard material.

研究动机与目标

• 将稳定过程的经典势论结果与现代自相似马尔可夫过程理论相连接。
• 利用路径分解与自相似性，重新推导稳定过程在单位球上的已知波动恒等式。
• 通过 Riesz–Bogdan–Żak 变换，引入关于 ℝᵈ 中稳定过程首次 hitting 与退出分布的新结果。
• 强调离散调制的马尔可夫加法过程（MAPs）与 Lamperti–Kiu 分解在理解稳定过程中的作用。
• 将自相似性与势论的应用范围从经典的一维情形扩展至高维稳定过程。

提出的方法

• 应用 Lamperti–Kiu 分解，将自相似马尔可夫过程表示为时间改变的 Lévy 过程。
• 利用 Riesz–Bogdan–Żak 变换，将单位球的势论与球面上的调和函数联系起来。
• 采用路径分解技术，分析单位球与球面的首次退出与首次 hitting 时间。
• 结合 Riesz 位势理论与点蚀理论，推导出再生核密度与 hitting 时间分布。
• 通过显式路径构造，建立经典波动理论与现代自相似过程理论之间的对话。
• 在证明中使用符号标记区分已知结果（♥）、混合结果（♦）与完全新结果（♣）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用自相似马尔可夫过程框架重新推导稳定过程的经典波动恒等式？
• RQ2 Lamperti–Kiu 分解在将高维自相似过程与 Lévy 过程联系起来的过程中起到什么作用？
• RQ3 单位球面上的 Riesz 位势如何与稳定过程首次 hitting 单位球的分布相关联？
• RQ4 当将自相似性与 ℝᵈ 中单位球上的势论结合时，会涌现出哪些新见解？
• RQ5 Riesz–Bogdan–Żak 变换在分析稳定过程首次通过时间方面起到了何种促进作用？

主要发现

• 本文通过路径分解与自相似性，重新推导了稳定过程在单位球上的经典波动恒等式，提供了新的概率直觉。
• 它证明了各向同性稳定过程在单位球面 𝕊ᵈ⁻¹ 上的首次 hitting 点分布，可通过 Riesz–Bogdan–Żak 变换与 Riesz 位势相关联。
• 利用势论方法，推导出过程在离开单位球时被吸收的再生核测度，其显式表达式涉及 Riesz 核。
• 在一维情形下，通过引入包含 Lamperti–Kiu 变换的新路径分解，刻画了在区间 (−1,1) 中的首次退出时间。
• 提出一个新结果（♣），关于高维情形下进入单位球的首次进入时间，揭示了稳定过程径向部分与正自相似马尔可夫过程之间的联系。
• 本文表明，稳定过程的自相似结构使得在不同维度下对波动问题的统一处理成为可能，将经典的一维结果推广至 ℝᵈ。