[论文解读] Stable quasimaps to holomorphic symplectic quotients

Bumsig Kim|arXiv (Cornell University)|May 22, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文為到全纯辛商的稳定扭曲准映射的模空间建立了对称的障碍理论，特别是对中岛丛图模型，证明当稳定性参数 δ 足够大时，δ-稳定性与准映射稳定性一致。该研究通过准映射理论和扭曲丛图丛推广了Diaconescu对ADHM丛图的结果，表明这些模空间具有完美的对称障碍理论，并在环流作用下是紧致的。

ABSTRACT

We study the moduli space of twisted quasimaps from a fixed smooth projective curve to a Nakajima's quiver variety and the moduli space of $δ$-stable framed twisted quiver bundles with moment map relations. We show that they carry symmetric obstruction theories and when $δ$ is large enough, they exactly coincide. These results generalize works of D.E. Diaconescu about the ADHM quiver, in the framework of the quasimap theory of I. Ciocan-Fontanine, D. Maulik and the author.

研究动机与目标

• 将准映射理论的框架扩展至全息辛商，特别是中岛丛图模型。
• 定义并研究稳定 M-扭曲准映射及 δ-稳定框架扭曲丛图丛的模空间。
• 证明这些模空间携带对称障碍理论。
• 证明当 δ 足够大时，δ-稳定性和准映射稳定性一致。
• 将Diaconescu对ADHM丛图的结果推广至更广泛的丛图模型类别。

提出的方法

• 通过准映射理论构造到全息辛商的稳定 M-扭曲准映射的模空间。
• 引入 M-扭曲丛图丛，其中 M 是一对线丛的集合，其乘积同构于典范层 ω_C。
• 使用 X//G 的 GIT 商构造，将全息辛商定义为 X////_λ,χG。
• 应用虚拟局部化方法，当不动点集在 C 上紧致时，获得明确定义的不变量。
• 利用有界性结果和 Serre 对偶性，控制稳定性分析中的上同调条件。
• 通过斜率函数比较及对度数与秩的界估计，建立 δ ≫ 0 时 δ-稳定性与准映射稳定性的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 到全息辛商的稳定 M-扭曲准映射的模空间是否携带对称障碍理论？
• RQ2 在何种条件下，扭曲丛图丛的 δ-稳定性与准映射稳定性一致？
• RQ3 对称障碍理论能否从 ADHM 情况推广至一般的中岛丛图模型？
• RQ4 δ 的稳定性条件与模空间几何结构之间有何关系？
• RQ5 环流作用及不动点集的紧致性如何影响通过虚拟局部化构造不变量？

主要发现

• 到全息辛商的稳定 M-扭曲准映射的模空间携带对称障碍理论。
• 当 δ ≫ 0 时，扭曲丛图丛的 δ-稳定性与准映射稳定性等价。
• δ-稳定框架扭曲丛图丛的模空间具有自然的对称障碍理论。
• 当 δ 超过依赖于有界性与斜率差的阈值 δ₀ 时，准映射稳定性与 δ-稳定性一致。
• 该构造将 Diaconescu 对 ADHM 丛图的结果推广至具有矩映射关系的更广泛丛图模型类别。
• 当环流作用在不动点集上为紧致时，模空间在 C 上是紧致的，从而支持虚拟局部化与留数不变量的构造。