[论文解读] Lectures on Nakajima's Quiver Varieties

Victor Ginzburg|ArXiv.org|May 5, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 38被引用 85

一句话总结

本文对中岛的 quiver 变体提供了全面的阐述，这些几何对象通过框架 quiver 表示的哈密顿约化构造而成，实现了 Kac-Moody 李代数及其可积表示的泛包络代数。主要贡献在于对整个泛包络代数 $U(\frak{g})$ 及其单模的几何构造，扩展了此前 Ringel 和 Lusztig 的工作，后者仅捕捉到了正部部分。

ABSTRACT

This is an expanded version of lectures given at a Summer School "Geometric methods in Representation Theory" (Grenoble, 2008).

研究动机与目标

• 为 Nakajima 的 quiver 变体提供系统性介绍，作为 Kac-Moody 李代数及其表示的几何实现。
• 解释 cotangent bundle 的框架 quiver 表示的哈密顿约化如何产生具有丰富代数结构的光滑辛流形。
• 建立这些流形的上同调与泛包络代数 $U(\frak{g})$ 及其可积最高权模之间的对应关系。
• 将构造推广到量子化情形，通过等变 K-理论实现修正的量子包络代数 $\widetilde{U}_q(\widehat{\frak{g}})$。

提出的方法

• 使用 quiver $Q^\heartsuit$ 构造框架 quiver 表示，其表示空间为 $\mathrm{Rep}(Q^\heartsuit)$。
• 对 cotangent bundle $T^*(\mathrm{Rep}(Q^\heartsuit)) = \mathrm{Rep}(\overline{Q^\heartsuit})$ 应用哈密顿约化，定义 Nakajima 的 quiver 变体 $\mathcal{M}_{\lambda,\theta}(\mathbf{v},\mathbf{w})$。
• 利用 Steinberg 流形 $Z(\mathbf{w})$ 及其不可约分支定义卷积代数，作用于 Borel-Moore 上同调。
• 将 $U(\frak{g}_Q)$ 的生成元实现为上同调中基本类与 Steinberg 流形分支的线性组合。
• 通过 Steinberg 流形的等变 K-理论，将构造提升到量子情形，取代 Borel-Moore 上同调。
• 利用流形上的 $\mathbb{C}^\times$-作用确保辛解析的性质以及上同调的纯性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Nakajima 的 quiver 变体如何作为框架 quiver 表示的 cotangent bundle 的哈密顿约化，从几何上构造？
• RQ2 这些流形的上同调或 K-理论如何实现 Kac-Moody 李代数的泛包络代数 $U(\frak{g})$？
• RQ3 泛包络代数 $U(\frak{g})$ 在中心纤维上同调上的作用的几何解释是什么？
• RQ4 该构造如何通过等变 K-理论推广到量子情形，特别是 $\widetilde{U}_q(\widehat{\frak{g}})$？
• RQ5 Nakajima 流形的拓扑与 Hodge 理论性质是什么，特别是关于中心纤维和辛解析结构？

主要发现

• Nakajima 的 quiver 变体为 Kac-Moody 李代数的整个泛包络代数 $U(\frak{g})$ 提供了几何构造，不仅限于其正部部分，扩展了 Ringel 和 Lusztig 的工作。
• 流形 $\mathcal{M}(\mathbf{v},\mathbf{w})$ 的 Borel-Moore 上同调携带 $\widetilde{U}(\frak{g}_Q)$ 的作用，使其成为修正泛包络代数的模。
• 在点 $x \in \mathcal{M}_0^\circ(\mathbf{v}',\mathbf{w})$ 上的纤维 $\mathcal{M}(\mathbf{v},\mathbf{w})_x$ 是等维的，并支持一个最高权为 $\sum_i (w_i \cdot \varpi_i - v'_i \cdot \alpha_i)$ 的可积单 $\widetilde{U}(\frak{g}_Q)$-模。
• 在类型为 $A_{n-1}$ 的 Dynkin quiver 情形下，该构造通过部分旗流形恢复了早期关于 $\widetilde{U}_q(\widehat{\frak{sl}}_n)$ 的结果。
• 奇异 Poisson 流形 $X$ 的辛解析 $\pi: \widetilde{X} \to X$ 的中心纤维 $\pi^{-1}(o)$ 是 $\widetilde{X}$ 的同伦收缩，且上同调同构。
• 纤维的上同调具有类型为 $(k,k)$ 的纯 Hodge 结构，所有奇数上同调都为零，反映了辛解析的刚性。