[论文解读] Statistical mechanics model for Clifford random tensor networks and monitored quantum circuits

Yaodong Li, Romain Vasseur+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2021

Quantum many-body systems参考文献 98被引用 16

一句话总结

本文通过利用有限域上 Clifford 群的共轭代数，为 Clifford 随机张量网络和监测量子电路建立了精确的统计力学映射。推导了 Clifford 群的广义 Weingarten 函数，并表明这些系统中的纠缠相变由仅依赖于子系统希尔伯特空间维度 $d = p^M$ 的素数 $p$ 的通用性质所支配，临界行为在 $M \to \infty$（$p$ 固定）和 $p \to \infty$（$M=1$）的极限下趋近于渗透模型，大 $p$ 时最小割纠缠熵为 $S_A = (\sqrt{3}/\pi)\ln p \ln L_A$。数值结果验证了临界指数收敛至渗透模型的值。

ABSTRACT

We introduce an exact mapping of Clifford (stabilizer) random tensor networks (RTNs) and monitored quantum circuits, onto a statistical mechanics model. With Haar unitaries, the fundamental degrees of freedom ('spins') are permutations because all operators commuting with the action of the unitaries on a tensor product arise from permutations of the tensor factors ('Schur-Weyl duality'). For unitaries restricted to the smaller Clifford group, the set of commuting operators, the 'commutant', forming the new 'spin' degrees of freedom, will be larger. We use the recent full characterization of this commutant by Gross et al., Comm. Math. Phys. 385, 1325 (2021), to construct the Clifford statistical mechanics models for on-site Hilbert space dimensions which are powers of a prime number $p$. We show that the Boltzmann weights are invariant under a symmetry group involving orthogonal matrices with entries in the finite number field ${\bf F}_p$. This implies that the symmetry group, and consequently all universal properties of entanglement transitions in Clifford circuits and RTNs will in general depend on, and only on the prime $p$. We show that Clifford monitored circuits with on-site Hilbert space dimension $d=p^M$ are described by percolation in the limits $d o \infty$ at (a) $p=$ fixed but $M o \infty$, and at (b) $M= 1$ but $p o \infty$. In the limit (a) we calculate the effective central charge, and in the limit (b) we derive the following universal minimal cut entanglement entropy $S_A =(\sqrt{3}/π)\ln p \ln L_A$ for $d=p$ large at the transition. We verify those predictions numerically, and present extensive numerical results for critical exponents at the transition in monitored Clifford circuits for prime number on-site Hilbert space dimension $d=p$ for a variety of different values of $p$, and find that they approach percolation values at large $p$.

研究动机与目标

• 为 Clifford 随机张量网络和监测量子电路中的纠缠相变建立统计力学框架。
• 将复制技巧和 Weingarten 微积分从 Haar 随机酉推广至 Clifford 群。
• 以子系统希尔伯特空间维度 $d = p^M$ 中的素数 $p$ 为基准，表征纠缠相变的普适性质。
• 在大 $p$ 和大 $M$ 极限下，推导纠缠熵和临界指数的精确表达式。
• 通过大规模数值模拟验证普适性并检验临界指数是否收敛至渗透模型的值。

提出的方法

• 将 Clifford RTNs 和监测电路映射为一个复制统计力学模型，其中基本自由度（自旋）为有限域 $\mathbb{F}_p$ 上 Clifford 群共轭代数的元素。
• 利用 Gross 等人（2021）对 Clifford 共轭代数的完整表征，定义玻尔兹曼权重和自旋相互作用。
• 推导 Clifford 群平均的广义 Weingarten 函数，将标准形式从 Haar 测度推广至有限群平均。
• 识别出一个涉及有限域 $\mathbb{F}_p$ 上正交矩阵的对称性群，该群支配纠缠相变的普适性质。
• 应用复制技巧计算 Rényi 熵并提取监测电路中的临界行为。
• 对不同素数维度 $d = p$ 和 $d = p^2$ 的系统进行数值模拟，比较临界指数与渗透模型的普适性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在子系统希尔伯特空间维度 $d = p^M$ 中，素数 $p$ 如何影响 Clifford 随机张量网络和监测量子电路中的纠缠相变？
• RQ2 Clifford RTNs 和监测电路背后的统计力学模型是什么？与 Haar 情况有何不同？
• RQ3 在大 $p$ 极限下（$M=1$），纠缠相变是否表现出普适行为？若是，临界点处的最小割纠缠熵为何值？
• RQ4 在大 $M$ 极限下（$p$ 固定），系统是否表现出类似渗透的临界行为？其有效中心荷为何值？
• RQ5 随着 $p$ 增大，监测 Clifford 电路的数值临界指数是否收敛至渗透模型的值？

主要发现

• 在 $M \to \infty$ 且 $p$ 固定的极限下，Clifford 监测电路表现出等价于渗透的临界行为，其有效中心荷被显式导出。
• 在 $M=1$ 且 $p \to \infty$ 的极限下，相变点处的最小割纠缠熵按 $S_A = (\sqrt{3}/\pi)\ln p \ln L_A$ 的形式标度，该普适预测已通过数值方法验证。
• 数值结果表明，对于 $d = p$ 的监测 Clifford 电路，临界指数随 $p$ 增大而收敛至渗透模型的值，支持了普适性。
• 推导出 Clifford 群的广义 Weingarten 函数，并证明其在 $\mathbb{F}_p$ 上正交变换下保持不变，从而基于对称性建立了普适行为的分类。
• 有限域 $\mathbb{F}_p$ 上 Clifford 群的共轭代数构成了统计力学模型的基础，其结构决定了系统的玻尔兹曼权重和对称性。
• 该结果可推广至更广泛系统：任何具有已知共轭代数的量子电路或 RTN 均可使用相同形式化方法映射为统计力学模型。