[论文解读] Stochastic Komatu-Loewner evolutions and BMD domain constant

Zhen-Qing Chen, Masatoshi Fukushima|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文提出了随机Komatu-Loewner演化（SKLE），作为SLE在具有有限个不相交水平裂口的多连通标准裂口域中的推广，其驱动过程由基于BMD复Poisson核的马氏性SDE与齐次系数构成。关键结果表明，当漂移项为$-b_{\text{BMD}}$、扩散系数为$\sqrt{6}$时，SKLE表现出局部性特征，从而在多连通情形下刻画了$\mathrm{SLE}_6$。

ABSTRACT

Let $D={\mathbb H} \setminus \cup_{k=1}^N C_k$ be a standard slit domain, where ${\mathbb H}$ is the upper half plane and $C_k$, $1\leq k\leq N$, are mutually disjoint horizontal line segments in $H$. Given a Jordan arc $γ\subset D$ starting at $\partial H$, let $g_t$ be the unique conformal map from $D\setminusγ[0,t]$ onto a standard slit domain $D_t={\mathbb H} \setminus \cup_{k=1}^N C_k(t)$ satisfying the hydrodynamic normalization at infinity. It has been established recently that $g_t$ satisfies an ODE called a Komatu-Loewner equation in terms of the complex Poisson kernel of the Brownian motion with darning (BMD) for $D_t$. We randomize the Jordan arc $γ$ according to a system of probability measures on the family of equivalence classes of Jordan arcs that enjoy a domain Markov property and a certain conformal invariance property. We show that the induced process $(ξ(t), {\bf s}(t))$ satisfies a Markov type stochastic differential equation, where $ξ(t)$ is a motion on $\partial {\mathbb H}$ and ${\bf} s(t)$ represents the motion of the endpoints of the slits $\{C_k(t),\; 1\le k\le N \}.$ Conversely, given such functions $α$ and $b$ with local Lipschitz continuity, the corresponding SDE admits a unique solution $(ξ(t), {\bf s}(t))$. The latter produces random conformal maps $g_t(z)$ via the Komatu-Loewner equation. The resulting family of random growing hulls $\{F_t\}$ from the conformal mappings is called ${ m SKLE}_{α,b}.$ We show that it enjoys a certain scaling property and a domain Markov property. Among other things, we further prove that ${ m SKLE}_{α,-b_{ m BMD}}$ for a constant $α>0$ has a locality property if and only if $α= \sqrt{6}$, where $b_{ m BMD}$ is a BMD-domain constant that describes the discrepancy of a standard slit domain from ${\mathbb H}$ relative to BMD.

研究动机与目标

• 将Schramm-Loewner演化（SLE）从单连通域推广至具有有限个不相交水平裂口的标准裂口域。
• 通过随机Komatu-Loewner方程（SKLE）刻画多连通域中随机生长壳层的驱动过程。
• 建立SKLE满足局部性特征的条件，从而推广$\mathrm{SLE}_6$的关键特性。
• 定义并分析BMD域常数$b_{\text{BMD}}$，作为基于布朗运动与补丁法的上半平面偏离程度的度量。

提出的方法

• 使用从$D \setminus \gamma[0,t]$到演化裂口域$D_t$的共形映射$g_t$，形式化裂口域上的Komatu-Loewner方程，且在无穷远处满足流体力学归一化。
• 通过满足域马氏性与共形不变性性质的概率测度系统，对驱动曲线$\gamma$进行随机化。
• 推导出关于过程$(\xi(t), \mathbf{s}(t))$的马氏型SDE，其中$\xi(t)$为$\partial\mathbb{H}$上的运动，$\mathbf{s}(t)$追踪裂口端点，扩散系数$\alpha$（齐次次数为0），漂移系数$b$（齐次次数为-1）。
• 证明裂口端点的漂移系数由BMD复Poisson核决定，该核为Lipschitz连续。
• 在$\alpha$与$b$满足局部Lipschitz连续性的条件下，证明SDE解的存在性与唯一性，从而通过Komatu-Loewner方程构造随机共形映射。
• 将所得随机生长壳层$\{F_t\}$定义为$\mathrm{SKLE}_{\alpha,b}$，并建立其标度性与域马氏性。

实验结果

研究问题

• RQ1 SLE在具有多个裂口的标准裂口域中的正确推广是什么？其驱动过程由何种SDE控制？
• RQ2 SKLE过程在何种条件下满足局部性特征？这与BMD域常数有何关联？
• RQ3 BMD复Poisson核如何影响SKLE框架中裂口演化的漂移系数？
• RQ4 系数$\alpha$与$b$的齐次性在控制$\xi(t)$与$\mathbf{s}(t)$的SDE中起何种作用？
• RQ5 SKLE框架能否在多连通情形下恢复$\mathrm{SLE}_6$的局部性？若能，对应于何种$\alpha$？

主要发现

• 当且仅当$\alpha = \sqrt{6}$时，SKLE过程$\mathrm{SKLE}_{\alpha, -b_{\text{BMD}}}$表现出局部性特征，从而将$\mathrm{SLE}_6$的关键特性推广至多连通情形。
• 裂口端点的漂移系数由BMD复Poisson核决定，该核为Lipschitz连续，确保了SDE的适定性。
• $(\xi(t), \mathbf{s}(t))$的SDE具有齐次次数为0的扩散系数$\alpha$与齐次次数为-1的漂移系数$b$，且$\alpha$与$b$均为局部Lipschitz连续。
• SDE的解通过Komatu-Loewner方程生成唯一的一族随机共形映射$g_t(z)$，从而产生具有域马氏性与标度性的随机生长壳层$F_t$。
• BMD域常数$b_{\text{BMD}}$定义为$b = \lim_{z \to 0} (\pi \widehat{\Psi}(z,0) + 1/z)$，量化了裂口域相对于$\mathbb{H}$在补丁法布朗运动下的偏离程度。
• 壳层$F_t$的上半平面容量通过$\frac{2}{\pi} r_t M_1^*(t) (1 + O(r_t))$的渐近行为表征，其中$r_t \to 0$，并将容量与BMD格林函数及Poisson核联系起来。