[论文解读] Stochastic systems with memory and jumps

David Baños, Francesco Cordoni+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用 13

一句话总结

本文通过无限维随机分析与随机正则化方法，建立了由具有无限活动跳跃的 Lévy 过程驱动的随机泛函延迟方程（SFDDEs）的解的存在性、唯一性及矩估计。推导出一种路径相关 Itô 公式，并证明了解在噪声替换下的鲁棒性——即用校正后的高斯噪声替代跳跃项——从而实现对具有不连续动力学的系统中记忆效应的分析。

ABSTRACT

Stochastic systems with memory naturally appear in life science, economy, and finance. We take the modelling point of view of stochastic functional delay equations and we study these structures when the driving noises admit jumps. Our results concern existence and uniqueness of strong solutions, estimates for the moments and the fundamental tools of calculus, such as the Itô formula. We study the robustness of the solution to the change of noises. Specifically, we consider the noises with infinite activity jumps versus an adequately corrected Gaussian noise. The study is presented in two different frameworks: we work with random variables in infinite dimensions, where the values are considered either in an appropriate $L^p$-type space or in the space of càdlàg paths. The choice of the value space is crucial from the modelling point of view as the different settings allow for the treatment of different models of memory or delay. Our techniques involve tools of infinite dimensional calculus and the stochastic calculus via regularization.

研究动机与目标

• 为具有记忆和跳跃的随机系统建立严格的理论框架，将经典 SDE 理论扩展至包含路径相关动力学的场景。
• 解决跳跃驱动 SFDDEs 在无限维路径空间中缺乏 Itô 微积分工具的问题。
• 证明具有广义 Lévy 噪声（包括无限活动跳跃）的 SFDDEs 强解的存在性与唯一性。
• 建立解在噪声替换下的矩估计与鲁棒性——即用校正后的高斯噪声替代跳跃项。
• 通过正则化技术统一路径相关与无限维随机微积分，使方法可应用于金融与生命科学领域。

提出的方法

• 在无限维路径空间 $\mathcal{D}([-r,0];\mathbb{R}^d)$ 或 $L^p$-型空间中，使用随机泛函延迟方程（SFDDEs）建模具有记忆的随机系统。
• 通过正则化方法应用随机微积分，定义随机积分并推导 Banach 空间值过程的 Itô 公式。
• 利用向后延拓算子 $L_t$ 与平移算子 $M_t$，将 $\mathcal{D}([0,t];\mathbb{R}^d)$ 上的路径相关泛函与 $\mathcal{D}([-r,0];\mathbb{R}^d) \times \mathbb{R}^d$ 上的泛函联系起来。
• 通过将垂直导数与水平导数表示为 Fréchet 导数与时间导数，推导出路径相关 Itô 公式。
• 通过比较具有无限活动跳跃的 Lévy 过程驱动的 SFDDEs 与由校正高斯噪声驱动的 SFDDEs，建立解的鲁棒性。
• 在 Banach 空间中引入二次变差概念，推广无限维中的 Itô 公式，基于无限维随机分析的最新进展。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Itô 公式推广至由跳跃扩散驱动的随机泛函延迟方程？
• RQ2 在何种条件下可保证具有无限活动 Lévy 噪声的 SFDDEs 强解的存在性与唯一性？
• RQ3 由跳跃噪声驱动的 SFDDEs 的矩估计与由高斯噪声驱动的相比有何异同？
• RQ4 在何种意义下，SFDDE 的解在将跳跃噪声替换为校正后的高斯噪声时具有鲁棒性？
• RQ5 如何利用无限维微积分与正则化技术，形式化并分析记忆效应的路径相关特性？

主要发现

• 本文在适当的 Lipschitz 条件与增长条件之下，建立了由具有无限活动跳跃的 Lévy 过程驱动的 SFDDEs 强解的存在性与唯一性。
• 推导出解的矩估计，表明 $p$-阶矩随时间最多呈指数增长，且界依赖于噪声特性。
• 通过随机正则化微积分推导出路径相关 Itô 公式，当系数具有适当正则性时，该公式与无限维 Itô 公式一致。
• SFDDE 的解在噪声替换下具有鲁棒性：用适当校正的高斯噪声替代跳跃噪声后，所得解在 $L^p$-范数下与原解接近。
• 解泛函的垂直导数对应于对当前状态的导数，而水平导数则通过向后延拓算子体现对过去路径的泛函导数。
• 该框架允许建模依赖于整个过去路径的动力学系统，并可在 $L^p$-型空间与 càdlàg 路径空间之间灵活选择，依具体应用场景而定。