[论文解读] A regularization approach to functional Itô calculus and strong-viscosity solutions to path-dependent PDEs

Andrea Cosso, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 40被引用 16

一句话总结

本文提出了一种基于正则化的函数型Itô微积分方法，采用一个中间空间——在端点可能有跳跃的有界左连续路径空间，从而实现水平导数与垂直导数的明确定义。该文建立了路径相关PDE强-黏性解的存在性与唯一性，包括路径相关热方程，并证明了在有限维情形下，强-黏性解与经典黏性解的等价性。

ABSTRACT

First, we revisit functional Itô/path-dependent calculus started by B. Dupire, R. Cont and D.-A. Fournié, using the formulation of calculus via regularization. Relations with the corresponding Banach space valued calculus introduced by C. Di Girolami and the second named author are explored. The second part of the paper is devoted to the study of the Kolmogorov type equation associated with the so called window Brownian motion, called path-dependent heat equation, for which well-posedness at the level of classical solutions is established. Then, a notion of strong approximating solution, called strong-viscosity solution, is introduced which is supposed to be a substitution tool to the viscosity solution. For that kind of solution, we also prove existence and uniqueness. The notion of strong-viscosity solution motivates the last part of the paper which is devoted to explore this new concept of solution for general semilinear PDEs in the finite dimensional case. We prove an equivalence result between the classical viscosity solution and the new one. The definition of strong-viscosity solution for semilinear PDEs is inspired by the notion of "good" solution, and it is based again on an approximating procedure.

研究动机与目标

• 将函数型Itô微积分通过正则化方法重新表述，避免对càdlàg扩张的依赖。
• 定义一个新的函数空间 $\mathscr{C}([-T,0])$，即有界左连续路径空间，以严格定义连续过程的函数型导数。
• 引入并研究强-黏性解，作为路径相关PDE中经典黏性解的替代方案。
• 证明路径相关热方程与一般半线性PDE的强-黏性解的存在性与唯一性。
• 在有限维半线性情形下，建立强-黏性解与经典黏性解之间的等价性。

提出的方法

• 将空间 $\mathscr{C}([-T,0])$ 定义为在 $[-T,0]$ 上有界、在 $[-T,0[$ 上连续、在 0 处可能有跳跃的函数集合，并赋予一种使 $C([-T,0])$ 在其中稠密的拓扑。
• 利用 $\mathscr{C}([-T,0])$ 上的拓扑，将泛函 $\mathcal{U}: [0,T] \times C([-T,0]) \to \mathbb{R}$ 连续延拓为 $u: [0,T] \times \mathscr{C}([-T,0]) \to \mathbb{R}$。
• 通过正则化技术在 $\mathscr{C}([-T,0])$ 上发展函数型Itô微积分，独立定义水平导数与垂直导数。
• 通过基于正则化的逼近过程引入强-黏性解的概念，替代标准黏性解框架。
• 利用先验估计与 $\mathbb{L}^q$ 中的收敛性论证，证明路径相关热方程强-黏性解的存在性与唯一性（$q \in [1,2)$）。
• 通过证明强-黏性解满足相同的比较原理与稳定性，建立半线性PDE中强-黏性解与经典黏性解的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过正则化技术重新表述函数型Itô微积分，以避免路径依赖的延拓问题？
• RQ2 中间空间 $\mathscr{C}([-T,0])$ 在为连续路径过程明确定义函数型导数中起到什么作用？
• RQ3 是否可以将强-黏性解定义为路径相关PDE中黏性解的基于正则化的替代方案？
• RQ4 在何种条件下可保证路径相关热方程强-黏性解的存在性与唯一性？
• RQ5 在半线性有限维情形下，强-黏性解与经典黏性解之间是否存在等价性？

主要发现

• 空间 $\mathscr{C}([-T,0])$ 允许将定义在 $C([-T,0])$ 上的泛函连续延拓，从而实现对水平导数与垂直导数的严格定义。
• 通过正则化导出的函数型Itô公式与Di Girolami与Russo的巴拿赫空间值微积分框架中的公式等价。
• 通过先验估计与 $\mathbb{L}^q$ 中的收敛性（$q \in [1,2)$）论证，建立了路径相关热方程强-黏性解的存在性与唯一性。
• 在有限维半线性PDE中，强-黏性解满足与经典黏性解相同的比较原理与稳定性。
• 在标准假设下，强-黏性解概念与经典黏性解等价，且逼近序列在 $\mathbb{L}^q$（$q \in [1,2)$）中收敛。
• 等价性证明依赖于双重逼近论证与一个关于局部等度连续下双序列逐点收敛的实分析引理。