[论文解读] Strongly far proximity and hyperspace topology

James F. Peters, C. Guadagni|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 11被引用 7

一句话总结

本文引入了强远邻近关系 $\mathop{\not{\delta}}\limits_{\mbox{\tiny$\doublevee$}}$，这是 Lodato 邻近关系的一种更强形式，并在拓扑空间 $X$ 的非空闭子集的超空间 $\mbox{CL}(X)$ 上建立了新的击中-远-遗失拓扑。关键贡献在于证明：基于强包含关系的这种新拓扑，生成的超拓扑与标准的击中-遗失拓扑或 Vietoris 拓扑不可比较，即使在 $\mathbb{Q}$ 这类非局部紧致空间中也是如此。

ABSTRACT

This article introduces strongly far proximity, which is associated with Lodato proximity $δ$. A main result in this paper is the introduction of a hit-and-miss topology on $\mbox{CL}(X)$, the hyperspace of nonempty closed subsets of $X$, based on the strongly far proximity.

研究动机与目标

• 开发一种强于 Lodato 邻近关系的更强邻近关系，以应对超空间构造中更精细的拓扑区分需求。
• 利用强远邻近关系在 $\mbox{CL}(X)$ 上定义一种新的超拓扑，通过强包含关系扩展击中-遗失框架。
• 研究该新超拓扑的拓扑性质，特别是其与现有超拓扑（如 Vietoris 和 Fell）的关系。
• 证明该新拓扑与标准超拓扑不可比较，即使在 $\mathbb{Q}$ 这类非局部紧致的 $T_1$ 空间中也是如此。

提出的方法

• 将强远邻近关系 $\mathop{\not{\delta}}\limits_{\mbox{\tiny$\doublevee$}}$ 定义为 Lodato 邻近关系 $\delta$ 的加强形式，通过自然强包含关系 $A \ll_{\delta} B \Leftrightarrow A \not\delta X\setminus B$ 定义。
• 利用子基集 $V^{-} = \{E \in \mbox{CL}(X) : E \cap V \neq \emptyset\}$ 和 $A_{\doublevee} = \{E \in \mbox{CL}(X) : E \mathop{\not{\delta}}\limits_{\mbox{\tiny$\doublevee$}} X\setminus A\}$（其中 $A$ 为开集）在 $\mbox{CL}(X)$ 上定义击中-远-遗失拓扑 $\tau_{\delta,\mathscr{B}}$。
• 以 $\mathbb{Q}$ 上的 Alexandroff 邻近关系 $\delta_A$ 作为关键示例，分析非局部紧致性对新拓扑的影响。
• 使用反证法和集合论论证，证明 $\tau_{\delta}^{++}$ 与 $\tau_{\doublevee}^{+}$ 之间不可比较，即二者互不为 finer 拓扑。
• 利用强包含关系的 EF 性质（中间性）分析在非局部紧致环境中包含关系的失效。
• 利用邻近与闭包之间的对应关系 $\mbox{cl}(A) = \{x \in X : x \delta A\}$，将拓扑闭包与邻近公理联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种强于 Lodato 邻近关系的更强邻近关系，使其在超空间中能更精细地刻画邻近与远隔关系？
• RQ2 强远邻近关系 $\mathop{\not{\delta}}\limits_{\mbox{\tiny$\doublevee$}}$ 与自然强包含关系 $\ll_{\delta}$ 之间有何交互作用？
• RQ3 基于 $\mathop{\not{\delta}}\limits_{\mbox{\tiny$\doublevee$}}$ 的击中-远-遗失拓扑是否会产生一种与标准超拓扑不可比较的新型超拓扑？
• RQ4 在非局部紧致空间（如 $\mathbb{Q}$）中，能否证明新拓扑 $\tau_{\delta}^{++}$ 与 $\tau_{\doublevee}^{+}$ 不可比较？
• RQ5 EF 性质（强包含的中间性）在决定新超拓扑结构方面起什么作用？

主要发现

• 强远邻近关系 $\mathop{\not{\delta}}\limits_{\mbox{\tiny$\doublevee$}}$ 被定义为 Lodato 邻近关系 $\delta$ 的更强形式，满足所有 Lodato 公理及 EF 性质。
• 击中-远-遗失拓扑 $\tau_{\delta,\mathscr{B}}$ 通过子基集 $V^{-}$ 和 $A_{\doublevee}$ 构造而成，其中 $A_{\doublevee}$ 由 $E \mathop{\not{\delta}}\limits_{\mbox{\tiny$\doublevee$}} X\setminus A$ 定义，确保了拓扑的适定性。
• 在配备 Alexandroff 邻近关系 $\delta_A$ 的空间 $\mathbb{Q}$ 中，基于远-遗失集 $A^{++}$ 的超拓扑 $\tau_{\delta}^{++}$ 与基于 $A_{\doublevee}$ 的 $\tau_{\doublevee}^{+}$ 不可比较，即二者互不为 finer 拓扑。
• 不可比较性源于紧致性假设的失效：在非局部紧致空间中，闭包非紧致的集合会阻止在一种拓扑中存在能包含于另一种拓扑中的合适邻域。
• 引理 3.6 表明：若 $ (X\setminus B)^{++} \subseteq (X\setminus C)_{\doublevee} $，则必有 $C \subseteq B$，这揭示了强远邻近关系的拓扑蕴含。
• 引理 3.7 证明：在 $\delta_A$ 下，$H_W \subseteq E^{++} \Leftrightarrow H \subseteq E$，这对分析 $\mathbb{Q}$ 中 $\tau_{\delta}^{++}$ 的结构至关重要。