[论文解读] Structure of the largest idempotent-product free sequences in semigroups

Guoqing Wang|arXiv (Cornell University)|May 24, 2014

semigroups and automata theory参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文刻画了在非幂等元集合有限的幺半群中，最长的幂等积自由序列的结构。它通过确定长度为 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$ 的强幂等积自由序列的确切形式，扩展了 Gillam、Hall 和 Williams 于 1972 年的结果，引入了新的结构性常数，这些常数在幺半群理论中推广了戴维森常数和埃罗斯-伯吉斯常数。

ABSTRACT

Let $\mathcal{S}$ be a finite semigroup, and let $E(\mathcal{S})$ be the set of all idempotents of $\mathcal{S}$. Gillam, Hall and Williams proved in 1972 that every $\mathcal{S}$-valued sequence $T$ of length at least $|\mathcal{S}|-|E(\mathcal{S})|+1$ is not (strongly) idempotent-product free, in the sense that it contains a nonempty subsequence the product of whose terms, in their natural order in $T$, is an idempotent, which affirmed a question of Erdős. They also showed that the value $|\mathcal{S}|-|E(\mathcal{S})|+1$ is best possible. Here, motivated by Gillam, Hall and Williams' work, we determine the structure of the idempotent-product free sequences of length $|\mathcal{S}\setminus E(\mathcal{S})|$ when the semigroup $\mathcal{S}$ (not necessarily finite) satisfies $|\mathcal{S}\setminus E(\mathcal{S})|$ is finite, and we introduce a couple of structural constants for semigroups that reduce to the classical Davenport constant in the case of finite abelian groups.

研究动机与目标

• 确定在 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$ 有限的幺半群 $\mathcal{S}$ 中，长度为 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$ 的强幂等积自由序列的结构。
• 引入并分析用于幺半群的新型结构性常数，这些常数推广了经典的戴维森常数与埃罗斯-伯吉斯常数。
• 通过识别 $\textsc{SI}(\mathcal{S}) = |\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})| + 1$ 成立的条件，解决 Gillam、Hall 和 Williams 的逆问题。
• 探讨交换幺半群中埃罗斯-伯吉斯常数 $\textsc{I}(\mathcal{S})$ 与戴维森常数 $\mathsf{D}(\mathcal{S})$ 之间的关系。
• 研究 $\textsc{I}(\mathcal{S})$ 与 $\textsc{SI}(\mathcal{S})$ 有限性的充分必要条件，以及二者相等的条件。

提出的方法

• 采用零和理论与幺半群中序列积的框架，将序列定义为自由幺半群 $\mathcal{F}(\mathcal{S})$ 的元素。
• 引入弱幂等积自由序列与强幂等积自由序列的概念，即任何子序列积（按任意顺序或自然顺序）均不产生幂等元。
• 应用 Gillam、Hall 和 Williams 论证的推广，证明任何长度为 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})| + 1$ 的序列均不可能是强幂等积自由的。
• 通过 $\lambda_T(x) = |\prod(T \cdot x) \setminus \prod(T)|$ 分析序列的重数与积结构，以追踪积集的变化。
• 建立长度为最大值 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$ 且避免生成幂等积的序列的结构性约束。
• 提出并分析实例，以区分 $\textsc{I}(\mathcal{S})$ 与 $\textsc{SI}(\mathcal{S})$，并表明 $\textsc{I}(\mathcal{S})$ 的有限性并不蕴含 $\textsc{SI}(\mathcal{S})$ 的有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$ 有限时，长度为 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$ 的 $\mathcal{S}$-值强幂等积自由序列的结构是什么？
• RQ2 在何种条件下 $\textsc{SI}(\mathcal{S}) = |\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})| + 1$ 成立？
• RQ3 在交换幺半群中，埃罗斯-伯吉斯常数 $\textsc{I}(\mathcal{S})$ 与戴维森常数 $\mathsf{D}(\mathcal{S})$ 之间存在何种关系？
• RQ4 $\textsc{I}(\mathcal{S})$ 与 $\textsc{SI}(\mathcal{S})$ 有限的充分与必要条件是什么？
• RQ5 $\textsc{I}(\mathcal{S}) = \textsc{SI}(\mathcal{S})$ 何时成立？此类幺半群具有何种结构性特征？

主要发现

• 在非幂等元集合有限的幺半群 $\mathcal{S}$ 中，强幂等积自由序列的最大长度恰好为 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$。
• 本文完全刻画了此类最大长度序列的结构，表明它们必须完全由满足特定积约束的非幂等元组成。
• 在交换幺半群中，埃罗斯-伯吉斯常数 $\textsc{I}(\mathcal{S})$ 与戴维森常数 $\mathsf{D}(\mathcal{S})$ 可能不同，且 $\textsc{I}(\mathcal{S}) < \mathsf{D}(\mathcal{S})$ 与 $\textsc{I}(\mathcal{S}) > \mathsf{D}(\mathcal{S})$ 均可能发生。
• 存在某些幺半群，使得 $\textsc{I}(\mathcal{S})$ 有限但 $\textsc{SI}(\mathcal{S})$ 无限，这表明这两个常数并非等价。
• $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})| + 1$ 是强幂等积自由序列不存在的最优界，确认了结果的紧致性。
• 本文引入了推广戴维森常数的结构性常数，并为研究非群幺半群中的零和问题与幂等积问题提供了框架。