[论文解读] Sub-critical and Super-critical Regimes in Epidemic Models of Earthquake Aftershocks

Agnès Helmstetter, Didier Sornette|Sep 18, 2001

Complex Systems and Time Series Analysis被引用 9

一句话总结

本文分析了地震型余震序列（ETAS）模型，表明分支参数 $ n $ 控制着亚临界（$ n<1 $）与超临界（$ n>1 $）状态之间的转变。研究识别出一个特征时间 $ t^* $，标志着从早期的 Omori 衰减（指数为 $ 1-\theta $）到晚期行为的过渡：当 $ n<1 $ 时表现为幂律衰减，当 $ n>1 $ 时则出现爆炸性指数增长，从而解释了真实余震序列中观测到的地震平静与加速现象。

ABSTRACT

We present an analytical solution and numerical tests of the epidemic-type aftershock (ETAS) model for aftershocks, which describes foreshocks, aftershocks and mainshocks on the same footing. The occurrence rate of aftershocks triggered by a single mainshock decreases with the time from the mainshock according to the modified Omori law K/(t+c)^p with p=1+theta. A mainshock at time t=0 triggers aftershocks according to the local Omori law, that in turn trigger their own aftershocks and so on. The effective branching parameter n, defined as the mean aftershock number triggered per event, controls the transition between a sub-critical regime n&lt;1 to a super-critical regime n&gt;1. In the sub-critical regime, we recover and document the crossover from an Omori exponent 1-theta for t1 and theta&gt;0, we find a novel transition from an Omori decay law with exponent 1-theta fot tt*. The case theta&lt;0 yields an infinite n-value. In this case, we find another characteristic time tau controlling the crossover from an Omori law with exponent 1-theta for t

研究动机与目标

• 使用解析与数值方法，理解地震型余震序列（ETAS）中亚临界与超临界状态之间的转变。
• 识别有效分支参数 $ n $ 的作用，其定义为每次事件引发的余震平均数量，控制状态转变。
• 确定特征时间 $ t^* $，其标志着地震活动率动力学中早期行为与长期行为之间的过渡。
• 利用 ETAS 模型解释观测到的地震活动模式，如主震前的平静与主震后的加速。
• 解释经验观测结果，如 $ b $-值与 $ p $-值之间的相关性，以及大地震前 $ b $-值的下降。

提出的方法

• 为 ETAS 模型中单次主震引发的全球余震序列推导地震活动率的解析解。
• 使用修正的 Omori 定律 $ K/(t+c)^p $ 来建模余震触发率，其中 $ p = 1 + \theta $，$ p $-值由 $ \theta $ 推导得出。
• 将有效分支参数 $ n $ 定义为每次事件引发的余震平均数量，其取决于 $ \theta $、$ \theta = p - 1 $ 以及震级标度 $ 10^{\theta m} $。
• 应用分支过程形式化方法，将总地震活动率表示为所有触发事件世代之和。
• 推导特征时间 $ t^* $ 作为 ETAS 参数的函数，其标志着早期动力学与晚期动力学之间的转变。
• 通过合成目录的数值模拟验证解析预测，特别是在超临界状态下的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ETAS 模型中，地震活动率如何随时间演化，特别是与分支参数 $ n $ 的关系如何？
• RQ2 特征时间 $ t^* $ 在控制余震序列中早期行为向长期行为过渡方面起什么作用？
• RQ3 该模型如何解释大地震前观测到的地震活动加速现象？
• RQ4 为何在某些序列中大地震前会出现相对地震平静？ETAS 模型如何解释这一现象？
• RQ5 $ b $-值与 $ p $-值之间经验相关性的成因是什么？ETAS 模型如何再现这一相关性？

主要发现

• 在亚临界状态（$ n < 1 $）下，地震活动率在 $ t < t^* $ 时以有效 Omori 指数 $ 1 - \theta $ 衰减，随后在 $ t > t^* $ 时过渡为 $ 1 + \theta $，与早期研究结果一致。
• 在超临界状态（$ n > 1 $，$ \theta > 0 $）下，地震活动率在早期表现为 Omori 衰减（指数为 $ 1 - \theta $），随后在 $ t > t^* $ 时出现爆炸性指数增长，解释了大地震前的地震活动加速现象。
• 当 $ \theta < 0 $ 时，分支参数 $ n $ 发散，一个新的特征时间 $ \tau $ 控制从指数为 $ 1 - |\theta| $ 的 Omori 定律向长时间尺度的指数增长的过渡。
• 该模型解释了为何小的 $ p $-值（即 $ p \to 1 $）可能预示大地震，因为此类值对应于 $ \theta \to 0 $，从而增加超临界行为的可能性。
• 该模型将大地震前的相对地震平静解释为超临界状态下，从早期 Omori 衰减向长期指数增长转变的必然结果。
• 对 Ogata（1989, 1992）真实数据的分析表明，$ t^* $ 可从 ETAS 参数中计算得出，且 $ p \to 1 $ 或 $ \theta \to 0 $ 的序列与高 $ n $ 值相关，表明存在爆炸性增长的潜力。