[论文解读] Submodular and supermodular multi-labeling, and vertex happiness.

Yao Xu, Randy Goebel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文提出了子模多标签化（Sub-ML）与超模多标签化（Sup-ML）作为切割问题的一般框架，利用基于洛瓦兹扩展的凸/凹松弛化方法，并结合随机化舍入，分别实现了 Sub-ML 的 $2 - \frac{2}{k}$ 和 Sup-ML 的 $\frac{2}{k}$ 近似保证，其应用涵盖最大快乐顶点（MHV）与最小不快乐顶点（MUHV）问题，并在标准猜想下证明了这些界限的紧致性。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the submodular multi-labeling (Sub-ML) problem, a more general version of the submodular multiway partition (Sub-MP), which captures many cut problems as special cases, including the edge-/node-weighted multiway cut and the hypergraph multiway cut. We also study the complement of Sub-ML, the supermodular multi-labeling (Sup-ML) problem. We propose a convex (concave, respectively) relaxation for the Sub-ML (Sup-ML, respectively) problem based on the Lov\'{a}sz extension, which can be solved in polynomial time. By applying a randomized rounding, we prove that Sub-ML can be approximated within a factor of $2 - \frac{2}{k}$ and Sup-ML can be approximated within a factor of $\frac{2}{k}$, where $k$ is the number of labels. In addition, we find that a recently studied vertex-coloring problem, the maximum happy vertices (MHV) problem, can be casted as a special case of Sup-ML. Hence, MHV can be approximated within $\frac{2}{k}$, which improves the previous best $\frac{1}{k}$-approximation. Based on the associated LP relaxation, we further prove that the $\frac{2}{k}$-approximation is the best possible for MHV. For the complementary minimum unhappy vertices (MUHV) problem, casted as a special case of Sub-ML, it can be approximated within $2 - \frac{2}{k}$ too; we prove that $2 - \frac{2}{k}$ is the best possible based on the associated LP relaxation; lastly, we show that a $(2 - \frac{2}{k} - \epsilon)$-approximation for MUHV is NP-hard under the Unique Games Conjecture, for any positive $\epsilon$.

研究动机与目标

• 将子模多路划分与切割问题推广为统一的 Sub-ML 框架。
• 定义并研究与 Sub-ML 对偶的互补 Sup-ML 问题。
• 利用子模函数的洛瓦兹扩展，为 Sub-ML 构建凸松弛化，为 Sup-ML 构建凹松弛化。
• 应用随机化舍入方法，为 Sub-ML 与 Sup-ML 推导出近似算法。
• 证明 MHV 问题为 Sup-ML 的特例，MUHV 问题为 Sub-ML 的特例，并直接应用推导出的界限以改进其近似保证。

提出的方法

• 将 Sub-ML 与 Sup-ML 建模为在标签分配上的优化问题，其目标函数分别为子模与超模函数。
• 利用子模函数的洛瓦兹扩展，构建 Sub-ML 的凸松弛化与 Sup-ML 的凹松弛化。
• 对松弛解应用随机化舍入，以获得具有有界近似比的整数标签分配。
• 证明 Sub-ML 的近似比为 $2 - \frac{2}{k}$，Sup-ML 的近似比为 $\frac{2}{k}$，其中 $k$ 为标签数量。
• 证明 MHV 是 Sup-ML 的特例，MUHV 是 Sub-ML 的特例，从而可直接应用所推导的界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 子模与超模多标签化问题能否被形式化为已知切割问题的推广？
• RQ2 利用凸与凹松弛化，Sub-ML 与 Sup-ML 能够获得怎样的近似保证？
• RQ3 能否通过 Sup-ML 框架将最大快乐顶点（MHV）问题的近似度改进至超过先前的 $\frac{1}{k}$？
• RQ4 在标准复杂性假设下，MHV 的 $\frac{2}{k}$-近似是否为最优？
• RQ5 MUHV 的 $2 - \frac{2}{k}$-近似是否紧致？在唯一游戏猜想下，是否存在 $(2 - \frac{2}{k} - \epsilon)$-近似是 NP-难的？

主要发现

• 通过凸松弛化与随机化舍入，Sub-ML 问题可实现 $2 - \frac{2}{k}$ 的近似比。
• 通过凹松弛化与随机化舍入，Sup-ML 问题可实现 $\frac{2}{k}$ 的近似比。
• 最大快乐顶点（MHV）问题实现了 $\frac{2}{k}$-近似，优于先前的 $\frac{1}{k}$-近似。
• MHV 的 $\frac{2}{k}$-近似是最优的，已通过相关线性规划松弛化证明。
• 最小不快乐顶点（MUHV）问题的 $2 - \frac{2}{k}$-近似是紧致的，且在唯一游戏猜想下，对任意 $\epsilon > 0$，$(2 - \frac{2}{k} - \epsilon)$-近似为 NP-难。