[论文解读] Approximation Algorithms for Submodular Multiway Partition

Chandra Chekuri, Alina Ene|arXiv (Cornell University)|May 10, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于次模函数Lovász扩展的凸规划松弛方法，用于解决子模多路划分（Sub-MP）问题，对一般次模函数实现了2-近似，对对称次模函数实现了(1.5 - 1/k)-近似，优于以往的(k-1)-和2(1-1/k)-近似界。该方法推广并改进了现有图与超图多路划分问题的松弛方法。

ABSTRACT

We study algorithms for the Submodular Multiway Partition problem (SubMP). An instance of SubMP consists of a finite ground set $V$, a subset of $k$ elements $S = \{s_1,s_2,...,s_k\}$ called terminals, and a non-negative submodular set function $f:2^V ightarrow \mathbb{R}_+$ on $V$ provided as a value oracle. The goal is to partition $V$ into $k$ sets $A_1,...,A_k$ such that for $1 \le i \le k$, $s_i \in A_i$ and $\sum_{i=1}^k f(A_i)$ is minimized. SubMP generalizes some well-known problems such as the Multiway Cut problem in graphs and hypergraphs, and the Node-weighed Multiway Cut problem in graphs. SubMP for arbitrarysubmodular functions (instead of just symmetric functions) was considered by Zhao, Nagamochi and Ibaraki \cite{ZhaoNI05}. Previous algorithms were based on greedy splitting and divide and conquer strategies. In very recent work \cite{ChekuriE11} we proposed a convex-programming relaxation for SubMP based on the Lovász-extension of a submodular function and showed its applicability for some special cases. In this paper we obtain the following results for arbitrary submodular functions via this relaxation. (i) A 2-approximation for SubMP. This improves the $(k-1)$-approximation from \cite{ZhaoNI05} and (ii) A $(1.5-1/k)$-approximation for SubMP when $f$ is symmetric. This improves the $2(1-1/k)$-approximation from \cite{Queyranne99,ZhaoNI05}.

研究动机与目标

• 通过次模函数的Lovász扩展，为Sub-MP开发一种凸规划松弛方法。
• 改进一般Sub-MP的(k-1)-近似和对称Sub-MP的2(1-1/k)-近似。
• 推广并改进现有图与超图多路划分问题的松弛方法。
• 分析所提松弛方法的整数规划间隙，并建立更紧的近似界。

提出的方法

• 利用次模函数的Lovász扩展，为Sub-MP构建凸松弛。
• 定义一种连续松弛，其中划分变量以单位单纯形中的向量表示。
• 利用次模函数的Lovász扩展为凸函数且分段线性的性质。
• 通过阈值集上的积分表示分析目标函数的松弛。
• 应用基于阈值化松弛解的舍入方案，以恢复离散划分。
• 通过次模性与链式法则，将松弛函数的积分与离散目标关联，证明近似保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于Lovász扩展的凸规划松弛能否在Sub-MP问题上获得优于贪心分割方法的(k-1)-近似？
• RQ2 所提出的松弛是否对对称Sub-MP实现(1.5 - 1/k)-近似，优于先前的2(1-1/k)界？
• RQ3 对称Sub-MP问题中，该松弛的整数规划间隙是否严格小于1.5 - 1/k？
• RQ4 该松弛能否推广至更一般的k路-Sub-MP问题（|S| ≥ k个终端）？
• RQ5 该松弛是否捕捉到了Graph-MC问题中CKR松弛所依赖的几何结构？

主要发现

• 本文对任意非负次模函数的Sub-MP实现了2-近似，优于先前的(k-1)-近似。
• 对对称次模函数，本文实现了(1.5 - 1/k)-近似，优于先前工作中的2(1-1/k)界。
• 所提出的凸松弛推广了Graph-MC问题的CKR松弛，可将其作为特例恢复。
• 该松弛的整数规划间隙在一般Sub-MP中上界为2，在对称Sub-MP中上界为(1.5 - 1/k)。
• 分析依赖于次模函数的积分表示与阈值化技术，以建立连续松弛与离散解之间的联系。
• 结果表明，割函数的次模性是实现常数因子近似的根本结构特性，而非图的特定几何结构。