[论文解读] Sufficient conditions on Liouville type theorems for the 3D steady Navier-Stokes equations

G. Serëgin, W. Wang|arXiv (Cornell University)|May 6, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 6被引用 8

一句话总结

本文通过分析速度场在 Lorentz 空间中的衰减，为三维定常 Navier-Stokes 方程建立了新的 Liouville 型定理的充分条件。证明了若缩放后的 Lorentz 范数 $ M_{\frac{2}{3},q,\ell}(R) $ 在无穷远处有界，则能量耗散 $ D(u) $ 受控；若该范数相对于 $ D(u) $ 足够小，则 $ u \equiv 0 $，从而推广了此前在 $ L^{9/2} $、$ BMO^{-1} $ 及 Lorentz 弱空间中的结果。

ABSTRACT

Our aim is to prove Liouville type theorems for the three dimensional steady-state Navier-Stokes equations provided the velocity field belongs to some Lorentz spaces. The corresponding statement contains several known results as a particular case.

研究动机与目标

• 建立新的充分条件，使得三维定常 Navier-Stokes 方程的所有光滑解恒为零。
• 通过放宽对速度场可积性的假设，推广现有的 Liouville 型结果，超越 $ L^{9/2} $ 和 $ BMO^{-1} $ 的限制。
• 统一并拓展先前在 Lorentz 空间中的结果，特别是 Galdi、Chae、Kozono 以及 Chae-Wolf 的工作。
• 提供一个基于速度场在 Lorentz 范数下渐近衰减的零解表征框架。

提出的方法

• 引入缩放后的 Lorentz 范数 $ M_{\theta,q,\ell}(R) = R^{\theta - 3/q} \|u\|_{L^{q,\ell}(B_R \setminus B_{R/2})} $，以度量环形区域中速度的衰减。
• 通过截断函数和无散延拓，推导出速度梯度 $ \nabla u $ 在 Lorentz 空间中的 Caccioppoli 型不等式。
• 应用 Hölder 不等式与 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式，控制 dyadic 环形区域上 $ \nabla u $ 的 $ L^2 $-范数。
• 利用尺度分析与插值，将 Lorentz 范数的衰减与能量耗散 $ D(u) = \int |\nabla u|^2 dx $ 关联。
• 确立两种情形：(i) $ q > 3 $，$ \gamma = \frac{2}{3} $，以及 (ii) $ \frac{12}{5} < q < 3 $，$ \gamma > \frac{1}{3} + \frac{1}{q} $，具有不同的衰减条件。
• 应用极限论证，当 $ R \to \infty $ 时，若缩放后的 Lorentz 范数足够小，则 $ D(u) = 0 $，从而推出 $ u \equiv 0 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在速度场的 Lorentz 空间衰减条件下，三维定常 Navier-Stokes 方程的唯一解何时恒为零？
• RQ2 能否通过 Lorentz 空间范数恢复并推广经典 Galdi 在 $ L^{9/2} $ 中的结果？
• RQ3 速度场在 Lorentz 空间中的衰减速率如何影响能量耗散 $ D(u) $，并在何种条件下强制 $ D(u) = 0 $？
• RQ4 是否能够利用 Lorentz 空间改进 Kozono 等人提出的充分条件 $ \|u\|_{L^{9/2,\infty}} \leq \delta D(u)^{1/3} $？
• RQ5 Chae-Wolf 关于对数可积性的结果能否在当前框架下被推广或与之区分？

主要发现

• 对于 $ q > 3 $，$ 3 \leq \ell \leq \infty $，且 $ \gamma = \frac{2}{3} $，若 $ \liminf_{R \to \infty} M_{\frac{2}{3},q,\ell}(R) < \infty $，则 $ D(u) \leq c(q,\ell) \liminf_{R \to \infty} M^{3}_{\frac{2}{3},q,\ell}(R) $。
• 若 $ \liminf_{R \to \infty} M^{3}_{\frac{2}{3},q,\ell}(R) \leq \delta D(u) $，且 $ \delta < 1/c(q,\ell) $ 足够小，则 $ u \equiv 0 $。
• 该结果推广了 Galdi 的 $ L^{9/2} $ 结果，因为当 $ u \in L^{9/2} $ 时，有 $ M_{\frac{2}{3},\frac{9}{2},\frac{9}{2}}(R) \to 0 $ 当 $ R \to \infty $。
• 当 $ q = \frac{9}{2} $，$ \ell = \infty $ 时，条件 $ \liminf M^{3}_{\frac{2}{3},\frac{9}{2},\infty}(R) \leq \delta D(u) $ 扩展了 Kozono-Terasawa-Wakasugi 的结果。
• 第二类情形（$ \frac{12}{5} < q < 3 $，$ \gamma > \frac{1}{3} + \frac{1}{q} $）通过放松对 $ \gamma $ 的指数条件，改进了文献 [10] 中的结果。
• 该定理表明，即使 $ N(u) = \infty $，若点态衰减满足 $ |u| \leq C|x|^{-2/3} (\ln \ln |x|)^{-\nu} $ 且 $ \nu \leq \frac{2}{9} $，仍可推出 $ u \equiv 0 $，而此情形未被 Chae-Wolf 的条件所涵盖。