[论文解读] Superabundant numbers, their subsequences and the Riemann hypothesis

Sadegh Nazardonyavi, Semyon Yakubovich|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 26被引用 26

一句话总结

本文引入了“极度丰沛数”这一新数列——定义为大于10080的整数，其在所有小于该数且大于10080的整数中，使比值 σ(n)/(n log log n) 达到最大。论文证明了黎曼猜想成立当且仅当存在无穷多个极度丰沛数，从而提供了一种更精细、更严格的判别准则，通过聚焦于比超丰沛数或广义丰沛数更稀疏、更具结构性的数列来验证黎曼猜想。

ABSTRACT

Let σ(n) be the sum of divisors of a positive integer n. Robin's theorem states that the Riemann hypothesis is equivalent to the inequality σ(n)5040 (γis Euler's constant). It is a natural question in this direction to find a first integer, if exists, which violates this inequality. Following this process, we introduce a new sequence of numbers and call it as extremely abundant numbers. In this paper we show that the Riemann hypothesis is true, if and only if, there are infinitely many of these numbers. Moreover, we investigate some of their properties together with superabundant and colossally abundant numbers.

研究动机与目标

• 寻找一个比超丰沛数或广义丰沛数更稀疏、更具结构性的整数序列，以搜索罗宾不等式潜在反例。
• 定义并分析一类新数——极度丰沛数，若黎曼猜想为假，则这些数可能是罗宾不等式的反例候选。
• 建立一个新等价关系：黎曼猜想成立当且仅当存在无穷多个极度丰沛数。
• 与超丰沛数和广义丰沛数相比，研究极度丰沛数的渐近性质与结构特征。

提出的方法

• 将极度丰沛数定义为满足 f(n) = σ(n)/(n log log n) 大于所有 m ∈ [10080, n) 的整数 n > 10080，其中10080为基准情况。
• 利用罗宾定理，该定理表明黎曼猜想等价于对所有 n > 5040，有 σ(n) < e^γ n log log n。
• 利用任一罗宾不等式反例必为超丰沛数（Akbary & Friggstad, 2009）的事实，并通过限制关注极度丰沛数的子序列加以改进。
• 分析连续极度丰沛数的增长率，证明 n′/n > 1 + c (log log n)^2 / log n 以及 n′/n > 1 + c (log log n)^2 / √log n 对某些 c > 0 成立。
• 验证了前250,000个超丰沛数和前8,150个极度丰沛数的实证性质，包括 σ(n)/n、φ(n) 及相关算术函数的单调性。
• 通过基于Primorial的构造和数值表格，比较极度丰沛数、超丰沛数和广义丰沛数中 f(n) = σ(n)/(n log log n) 的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个比超丰沛数更稀疏、更具结构性的整数序列，可用于检验罗宾不等式？
• RQ2 黎曼猜想能否等价地用一类新数——极度丰沛数的无穷性来重新表述？
• RQ3 连续极度丰沛数的渐近增长性质如何？与超丰沛数和广义丰沛数相比有何差异？
• RQ4 σ(n)/n、φ(n) 和 ω(n) 等关键算术函数在极度丰沛数序列中是否表现出单调性？
• RQ5 与已知数列相比，f(n) = σ(n)/(n log log n) 在极度丰沛数上的行为如何？

主要发现

• 黎曼猜想成立当且仅当存在无穷多个极度丰沛数，从而确立了一个新的等价判别准则。
• 前10个极度丰沛数已被计算并列出，其 f(n) 值范围从1.75737到1.75860，显示出缓慢但持续的增长。
• 对于连续的极度丰沛数 n 和 n′，比值 n′/n 超过 1 + c (log log n)^2 / log n（其中 0 < c ≤ 4），且在测试范围内也超过 1 + c (log log n)^2 / √log n（其中 0 < c ≤ 0.195）。
• 在前250,000个超丰沛数范围内的极度丰沛数集合中，函数 g(n) = n / ω(n) 是递增的。
• 在超丰沛数列中，σ(n ⌊σ(n)/n⌋) 是递增的，且在极度丰沛数列中，φ(n ⌊σ(n)/n⌋) 及相关函数也表现出类似的单调性。
• 函数 f(n) = σ(n)/(n log log n) 沿极度丰沛数列递增，且对满足 s₄₉ < n < C₂ 的 n ∈ SA，有 f(n) > f(g(p))，其中 g(p) = lcm(1,2,…,p)。