[论文解读] Supervised quantum machine learning models are kernel methods

Maria Schuld|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 28被引用 171

一句话总结

本文表明有监督的量子模型可以被表述为经典核方法，量子核由数据编码密度矩阵的内积定义，并且论证在某些条件下基于核的训练可以优于变分方法。

ABSTRACT

With near-term quantum devices available and the race for fault-tolerant quantum computers in full swing, researchers became interested in the question of what happens if we replace a supervised machine learning model with a quantum circuit. While such "quantum models" are sometimes called "quantum neural networks", it has been repeatedly noted that their mathematical structure is actually much more closely related to kernel methods: they analyse data in high-dimensional Hilbert spaces to which we only have access through inner products revealed by measurements. This technical manuscript summarises and extends the idea of systematically rephrasing supervised quantum models as a kernel method. With this, a lot of near-term and fault-tolerant quantum models can be replaced by a general support vector machine whose kernel computes distances between data-encoding quantum states. Kernel-based training is then guaranteed to find better or equally good quantum models than variational circuit training. Overall, the kernel perspective of quantum machine learning tells us that the way that data is encoded into quantum states is the main ingredient that can potentially set quantum models apart from classical machine learning models.

研究动机与目标

• 阐明量子机器学习与核理论之间的桥梁。
• 表明量子模型在由密度矩阵定义的高维特征空间中线性。
• 证明训练归约为在再生核希尔伯特空间(RKHS)中的基于核的优化。
• 突出数据编码在决定模型表达能力和学习行为中的重要性。

提出的方法

• 将数据编码特征映射定义为在希尔伯特-施密特内积的密度矩阵空间中的映射 x -> ρ(x)。
• 定义量子核 κ(x, x') = tr[ρ(x) ρ(x')] = |⟨φ(x')|φ(x)⟩|^2，并证明它是半正定的。
• 展示量子模型与由量子核诱导的 RKHS 中线性模型之间的等价性。
• 应用表示定理，将最优模型表达为 f_opt(x) = ∑ α_m tr[ρ(x^m) ρ(x)].
• 论证基于核的训练产生的模型的测量落在由训练数据张成的子空间中，并讨论凸性带来的好处。
• 将基于核的训练与变分方法进行比较，并解释在何种情况下可能更优。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以通过量子核将量子模型重新表述为经典核方法？
• RQ2 将数据编码到量子态中的特征映射如何决定核及模型的表达能力？
• RQ3 对于量子模型，基于核的训练相对于变分电路训练有哪些好处与权衡？
• RQ4 表示定理如何约束最优量子测量的形式？
• RQ5 在何种条件下，量子核相较于经典核在计算效率或表达力方面具有优势？

主要发现

• 量子模型可以被表达为密度矩阵特征空间中的线性模型，其可预测性由量子核 κ(x, x') 决定。
• 与量子核相关的 RKHS 包含的函数恰好与量子模型的空间相同，便于核方法分析。
• 对于典型的代价函数，最优量子测量可以写成对训练数据的核展开，只需要 M 个自由度（系数 α_m）。
• 基于核的训练将寻找最佳模型的过程简化为一个 M 维优化问题，对于常见损失函数是凸的，与非凸的变分训练形成对比。
• 使用量子核的训练可以保证至少与变分训练同样好甚至更好的极小值，代价是在需要成对核评估。
• 数据编码策略在很大程度上决定了表达能力和潜在的量子优势，强调编码在量级设计之外的核心作用。