[论文解读] Surgery and Invariants of Lagrangian Surfaces

Mei-Lin Yau|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文引入了一种新的拉格朗日子面手术操作——la-盘手术，该操作保持光滑同伦但可能改变辛不变量。它构造了一个新不变量——y-指标，用于检测非哈密顿同伦，并证明在辛4-流形中的某些光滑同伦的拉格朗日子面环面并非哈密顿同伦，从而提供了此类配对的新例子。

ABSTRACT

We considered a surgery, called Lagrangian attaching disk surgery, that can be applied to a Lagrangian surface L at the presence of a Lagrangian attaching disk D, to obtain a new Lagrangian surface L' which is always smoothly isotopic to L. We showed that this type of surgery includes all even generalized Dehn twists as constructed by Paul Seidel. We also constructed a new symplectic invariant, called y-index, for orientable closed Lagrangian surfaces immersed in a parallelizable symplectic 4-manifold W. With y-index we proved that L and L' are not Hamiltonian isotopic. We also obtained new examples of nullhomologous Lagrangian tori which are smooth isotopic but not Hamiltonian isotopic.

研究动机与目标

• 开发一种手术程序，该程序保持拉格朗日子面的光滑同伦，但可能破坏其哈密顿同伦。
• 为平行化辛4-流形中的定向闭拉格朗日子面构造一个新的辛不变量——y-指标。
• 证明经la-盘手术后得到的曲面即使与原曲面光滑同伦，也并非哈密顿同伦。
• 在辛4-流形中提供新的光滑同伦但非哈密顿同伦的零同调拉格朗日子面环面的例子。

提出的方法

• 基于边界曲线在曲面上的同伦类，定义具有极性的抛物型、双曲型或椭圆型拉格朗日附着盘（la-盘）。
• 通过切除边界曲线的套管邻域并粘贴另一个拉格朗日环面，构造la-盘手术η_D，保持拉格朗日结构。
• 通过拉格朗日子面交叉区域中定向弧上的相位变化积分，引入y-指标作为辛不变量。
• 利用球坐标系和拉格朗日格拉斯曼流形上的群作用分析相对相位，并定义y-指标。
• 通过计算连续手术中y-值的差异，应用y-指标检测非哈密顿同伦。
• 利用哈密顿同伦变形区域，同时保持y-指标不变，从而可控地构造一系列非同伦的环面。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对拉格朗日子面进行手术，使其保持光滑同伦但破坏哈密顿同伦？
• RQ2 是否存在一种辛不变量，可在拉格朗日子面光滑同伦时仍检测其非哈密顿同伦？
• RQ3 能否在辛4-流形中构造出光滑同伦但非哈密顿同伦的拉格朗日子面环面的新例子？
• RQ4 y-指标在la-盘手术下的行为如何？能否用于区分同伦类？
• RQ5 la-盘手术与辛拓扑中的广义德恩扭转之间存在何种关系？

主要发现

• la-盘手术η_D产生一个新的拉格朗日子面L′，其与L光滑同伦，但未必哈密顿同伦。
• y-指标是检测非哈密顿同伦的辛不变量：若y(L′,q) ≠ y(L,q)，则L与L′非哈密顿同伦。
• 对通过连续la-盘手术构造的环面序列T_k，有y(T_k, q) = -4k，其中k = -1, 0, ..., n。
• T_k与T_j之间的y-指标差为y(T_k, T_j, q) = 4(j - k)，证明所有T_k彼此非哈密顿同伦。
• 该构造在W_n中产生n+2个两两非哈密顿同伦的单调拉格朗日子面环面，且彼此光滑同伦。
• y-指标在固定参考点与区域的哈密顿同伦下保持不变，使其适用于区分同伦类。