[论文解读] Symmetric power functoriality for Hilbert modular forms

James Newton, Jack A. Thorne|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2022

Advanced Algebra and Geometry被引用 5

一句话总结

本文证明了在全实域上，对GL₂的非CM、正则代数型Hilbert模形式，其n阶对称幂提升至GLₙ上的尖点自守表示，即对任意非CM、正则代数型Hilbert模形式（正则权），其n阶对称幂可提升为GLₙ上的尖点自守表示。证明方法基于伽罗瓦表示、自守提升定理及通过水平提升同余关系的归纳法，最终确认对所有n ≥ 1，对称幂函子性成立。

ABSTRACT

Let $F$ be a totally real field. We prove the existence of all symmetric power liftings of those cuspidal automorphic representations of $\mathrm{GL}_2(\mathbf{A}_F)$ associated to Hilbert modular forms of regular weight.

研究动机与目标

• 在全实域上，为非CM、正则代数型Hilbert模形式建立对称幂提升的存在性。
• 基于素数分解的归纳策略，将对称幂函子性推广至所有n ≥ 1。
• 证明GL₂上的RAESDC自守表示的对称幂可提升为GLₙ上的尖点自守表示。
• 通过构造适当的Eisenstein级数并利用水平提升同余关系，克服自守提升中残余可约性的障碍。

提出的方法

• 利用与RAESDC自守表示相关的伽罗瓦表示，将自守性问题转化为伽罗瓦理论问题。
• 对具有Steinberg局部成分的残余可约伽罗瓦表示应用自守提升定理。
• 使用关键推论：SP_r + SP_{p−r} + LR_{p+r} + TP_r ⇒ SP_{p+r}，其中p ≥ 5为素数且0 < r < p。
• 通过酉群的端锥提升，将对称幂伽罗瓦表示实现为自守表示。
• 利用水平提升同余关系（LR_m）与张量积函子性（TP_r）构造自守形式之间的同余关系。
• 通过扭和基变换将一般情形约化为正则代数情形，利用已知的RAESDC表示结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 GL₂上的非CM、正则代数型Hilbert模形式的n阶对称幂是否可提升为GLₙ上的尖点自守表示？
• RQ2 能否基于Bertrand命题的归纳策略，建立所有n ≥ 1的对称幂函子性？
• RQ3 自守提升定理在由对称幂导出的残余可约伽罗瓦表示上可应用到何种程度？
• RQ4 能否利用水平提升同余关系与张量积函子性构造所需的自守提升？

主要发现

• 本文证明：对任意非CM、正则代数型RAESDC自守表示π，其对称幂Sym^{n−1}π在GLₙ(AF)上存在，且为尖点自守表示，对所有n ≥ 1成立。
• 对称幂提升的存在性在所有n ≥ 1下无条件成立，基于先前结果及LR_n与TP_r的新情形。
• 通过扭和基变换，对称幂函子性在正则权Hilbert模形式上成立，即使权重非偶数亦然。
• 证明依赖于基于素数分解n = p + r（p ≥ 5为素数）的归纳策略，并对具有Steinberg局部成分的伽罗瓦表示应用自守提升定理。
• 作者确认：与Hilbert模形式相关的伽罗瓦表示的对称幂是自守的，且其局部成分与局部Langlands参数的对称幂一致。