[论文解读] Symmetries of almost complex structures and pseudoholomorphic foliations

Boris Kruglikov|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文建立了几乎复结构 $J$ 的局部对称性伪群有限维性的判定准则，表明仅在可积情形（即 $J$ 允许伪全纯叶状结构时）才会出现无穷维对称性伪群。关键结果为：当 Nijenhuis 张量诱导出一个可积的秩-2 分布时，对称性达到最大（无穷维），且在维度 4 和 6 中，唯一实现分别对应于 $G_2^c$ 和 $G_2^n$ 结构。

ABSTRACT

Generically an almost complex structure has no symmetries at all, but there exist symmetric structures. In this paper we describe how to guarantee that the pseudogroup of local symmetries is small (finite-dimensional). It will be indicated that a large symmetry pseudogroup (infinite-dimensional) is a signature of some integrable structure, like a pseudoholomorphic foliation. We are mostly concerned with almost complex structures in dimensions 4 and 6, where we classify the sub-maximal symmetric structures, and we briefly discuss the higher dimensions. For non-degenerate almost complex structures we give an estimate on the dimension of the automorphism group.

研究动机与目标

• 确定几乎复结构 $J$ 的局部对称性伪群 $G = \mathop{\rm Sym}_{\text{loc}}(M,J)$ 为有限维的条件。
• 对具有最大对称性（无穷维 $G$）的几乎复结构进行分类，并识别其几何特征。
• 分析 Nijenhuis 张量 $N_J$ 在决定对称性维数及关联分布可积性方面的作用。
• 建立非退化几乎复结构具有大对称群时存在的全局拓扑障碍。
• 刻画维度 4 和 6 中次最大对称结构的特性，确定其局部唯一性与对称类型。

提出的方法

• 应用 Cartan 判别法计算伪群 $G$ 的函数维数与秩，确定其元素依赖于多少个变量的多少个函数。
• 将 Nijenhuis 张量 $N_J$ 作为主要微分不变量，分析其像 $\Pi = \mathop{\rm Im}(N_J)$ 在 $M$ 上作为向量分布的性质。
• 证明当 $N_J$ 非退化（$n>2$ 时为满射，$n=2$ 时像不可积）时，有 $\dim G < \infty$，从而确立定理 A。
• 证明当 $\dim G = \infty$ 时，Nijenhuis 像 $\Pi$ 必须是可积的，从而蕴含伪全纯叶状结构的存在。
• 通过分析定义 $G$ 的函数参数个数 $\sigma$，对次最大对称结构进行分类，表明当 $n=2,3$ 时 $\sigma = n-1$，当 $n>3$ 时 $\sigma = n-2$。
• 识别 $n=2$ 和 $n=3$ 时的最大对称情形为局部唯一结构：$S^6$ 上的 $G_2^c$-不变 $J$ 与 $S^{2,4}$ 上的 $G_2^n$-不变 $J$，且满足 $\dim G \leq 14$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，几乎复结构 $J$ 的局部对称性伪群 $G$ 为有限维？
• RQ2 当 $G$ 为无穷维时，强制存在何种几何结构？
• RQ3 在维度 4 和 6 中，非退化几乎复结构的局部对称性伪群 $G$ 的最大可能维数是多少？
• RQ4 Nijenhuis 张量及其像 $\Pi = \mathop{\rm Im}(N_J)$ 如何约束 $J$ 的对称性结构？
• RQ5 存在具有大对称群的非退化几乎复结构时，存在何种全局拓扑障碍？

主要发现

• 当 Nijenhuis 张量 $N_J$ 非退化（$n>2$ 时为满射）或当 $n=2$ 时其像 $\Pi$ 不可积时，对称性伪群 $G$ 为有限维。
• 当 $\dim G = \infty$ 时，Nijenhuis 像 $\Pi = \mathop{\rm Im}(N_J)$ 必然可积，从而蕴含存在一个规范的伪全纯叶状结构。
• 对于 $n=2$，次最大对称结构为局部唯一，对应于复曲线上的几乎全纯丛，且 $\dim G = 4$。
• 对于 $n=3$，最大对称性伪群的维数满足 $\dim G \leq 14$，且仅在 $S^6$ 上的 $G_2^c$-不变 $J$ 或 $S^{2,4}$ 上的 $G_2^n$-不变 $J$ 时达到。
• 在维度 4 和 6 中，存在两种不同的次最大对称结构，其对称性伪群均依赖于 $n-2$ 个复函数与 2 个变量。
• 存在非退化 $J$ 满足 $N_J \neq 0$ 时，会施加全局拓扑约束，例如在最大对称情形下 $M$ 同胚于 $S^6$ 或 $S^{2,4}$。