[论文解读] Symmetries of the Tachyonic Dirac Equation

Ulrich D. Jentschura, B. J. Wundt|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2011

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用 1

一句话总结

本文构建了一个带有第五种电流的快子狄拉克方程，其能谱满足 E² = p² - m²。它展示了 CP 和 T 对称性，推导了费曼 propagator，并表明非协变哈密顿量 H₅ 破坏宇称但保持 PT′ 对称性，从而确保本征能量为实数，并在无质量极限下近似描述手征性本征态。

ABSTRACT

We show that it is possible to construct a tachyonic version of the Dirac equation, which contains the fifth current and reads (i gamma^\mu partial_\mu - gamma^5 m) \psi = 0. Its spectrum fulfills the dispersion relation E^2 = p^2 - m^2, where E is the energy, p is the spatial momentum, and m is the mass of the particle. The tachyonic Dirac equation is shown to be CP invariant, and T invariant. The Feynman propagator is found. In contrast to the covariant formulation, the tachyonic Hamiltonian H_5 = alpha.p + beta gamma^5 m breaks Lorentz covariance (as does the Hamiltonian formalism in general, because the time variable is singled out and treated differently from space). The tachyonic Dirac Hamiltonian H_5 breaks parity but is found to be invariant under the combined action of parity and a noncovariant time reversal operation T'. In contrast to the Lorentz-covariant T operation, T' involves the Hermitian adjoint of the Hamiltonian. Thus, in the formalism developed by Bender et al., primarily in the context of quantum mechanics, H_5 is PT' symmetric. The PT' invariance (in the quantum mechanical sense) is responsible for the fact that the energy eigenvalues of the tachyonic Dirac Hamiltonian are real rather than complex. The eigenstates of the Hamiltonian are shown to approximate the helicity eigenstates of a Dirac neutrino in the massless limit.

研究动机与目标

• 制定一个一致的快子狄拉克方程版本，尊重关键对称性并产生物理上有意义的能谱。
• 分析快子狄拉克哈密顿量的对称性质，特别是其在宇称、时间反演和电荷共轭下的行为。
• 在 PT′ 对称性的背景下，研究非协变时间反演 T′ 的影响，确保本征能量为实数。
• 探讨快子狄拉克方程与无质量狄拉克中微子的手征性态之间的联系。
• 推导快子狄拉克场的费曼 propagator，并评估其与量子场论原理的一致性。

提出的方法

• 提出快子狄拉克方程：(iγ^μ∂_μ - γ^5m)ψ = 0，其色散关系为 E² = p² - m²。
• 分析哈密顿量形式 H₅ = α·p + βγ^5m，指出其因单独特征时间变量而显式破坏洛伦兹协变性。
• 引入一种非协变时间反演操作 T′，通过 H₅ 的厄米共轭定义，与标准洛伦兹协变 T 不同。
• 应用非厄米量子力学中的 PT′ 对称性框架，表明尽管 H₅ 在传统意义上非厄米，其本征能量仍为实数。
• 利用哈密顿量和 PT′ 对称性结构，推导快子狄拉克场的费曼 propagator。
• 将 H₅ 的本征态与无质量狄拉克中微子的手征性本征态进行比较，发现在质量趋于零的极限下二者近似一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个一致的快子狄拉克方程，使其尊重 CP 和 T 等基本对称性？
• RQ2 非协变哈密顿量 H₅ 在宇称和时间反演下的行为如何？何种新对称性浮现？
• RQ3 非协变时间反演 T′ 在确保快子狄拉克哈密顿量本征能量为实数方面起什么作用？
• RQ4 快子狄拉克哈密顿量的本征态如何与无质量狄拉克中微子的手征性本征态相关联？
• RQ5 快子狄拉克场论中的费曼 propagator 的形式及其物理诠释是什么？

主要发现

• 快子狄拉克方程 (iγ^μ∂_μ - γ^5m)ψ = 0 产生的能谱满足 E² = p² - m²，与快子色散关系一致。
• 该方程具有 CP 不变性和 T 不变性，尽管场具有快子性质，但仍保持关键的离散对称性。
• 哈密顿量 H₅ 破坏洛伦兹协变性和宇称，但在宇称与非协变时间反演 T′ 联合作用下保持不变。
• H₅ 的 PT′ 对称性确保其本征能量为实数，解决了非厄米体系中本征能量为复数的问题。
• H₅ 的本征态在 m → 0 极限下近似于无质量狄拉克中微子的手征性本征态。
• 推导出快子狄拉克场的费曼 propagator，为快子量子场论中的微扰计算提供了基础。